곡선 아래 넓이를 직사각형 여러 개로 근사하는 구분구적법을 확인하고, x축 아래로 내려간 부분은 넓이가 음수로 빠진다는 것도 확인해봐요.
곡선으로 휘어진 도형은 직사각형 넓이 공식을 바로 쓸 수 없어요. 그래서 구분구적법은 곡선 아래 공간을 얇은 직사각형 여러 개로 잘라 넓이를 근사해요. 직사각형 개수를 늘릴수록 삐져나오는 부분이 줄어들고, 무한히 늘리는 극한을 취하면 근삿값이 실제 넓이(정적분)와 완전히 같아져요.
정적분에는 신기한 성질이 있어요. 그래프가 x축 아래로 내려가면, 그 부분의 넓이는 빠지는 것으로 계산돼요. 그래서 일반 도형 넓이와 달리 정적분값은 음수가 될 수도 있어요.
슬라이더로 직사각형 개수 n을 늘려가며 넓이가 정확한 값에 다가가는 모습과, x축 아래 넓이가 실제로 빠지는 모습을 직접 확인해보세요.
구분구적법 — f(x)=x²와 x축 사이의 넓이(0≤x≤2)를 구하고 싶어요. 정확한 곡선 모양을 직사각형 n개로 잘라 근사하면, 각 직사각형 넓이의 합이 실제 넓이에 가까워져요. n을 슬라이더로 늘려가며 합이 정확한 값(8/3)에 다가가는 걸 확인해보세요.
직사각형 개수 n6
∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.667
부호가 있는 넓이 — f(x)=x는 x=0을 기준으로 아래(음수)와 위(양수)를 오가요. 정적분은 x축 위쪽 넓이는 더하고, 아래쪽 넓이는 뺀 "순 넓이"를 계산해요. 일반적인 도형 넓이와 달리, 정적분값은 음수가 될 수도 있어요.