곡선 위의 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기는 평균변화율이에요. 두 점의 간격 h를 슬라이더로 0에 가깝게 좁혀보면, 할선이 접선으로 바뀌면서 순간변화율(미분계수)이 얼마인지 눈으로 확인할 수 있어요.
자동차로 100km를 2시간에 달렸다면 평균 속력은 시속 50km지만, "지금 이 순간의 속력"은 다른 질문이에요. 곡선 위 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기는 평균변화율인데, 두 점의 간격 h를 0에 한없이 가깝게 좁히면 할선이 그 점에 살짝 닿기만 하는 접선으로 바뀌어요.
이때의 극한값이 순간변화율(미분계수)이에요. f(x)=x²라면 x=1에서 순간변화율은 2, x=2에서는 4처럼 항상 원래 x의 2배가 나오는데, 이 규칙을 함수로 만든 게 도함수 f'(x)=2x예요.
슬라이더로 h를 0에 가깝게 움직이며 할선이 접선으로 바뀌는 과정을 직접 확인하고, 원함수와 도함수 그래프를 나란히 비교해보세요.
평균변화율 — f(x)=x² 위의 두 점 A=(1, f(1))과 B=(1+h, f(1+h))를 잇는 할선의 기울기는 (f(1+h)−f(1))÷h예요. h를 0에 아주 가깝게 줄여보세요. 할선(보라색)이 점점 접선(파란 점선)에 포개지는 걸 볼 수 있어요.
할선 AB (평균변화율)접선 (순간변화율)
h (B의 위치 = 1+h)1.00
기울기 = (f(1+h) − f(1)) ÷ h
도함수 f'(x)는 곡선 위 각 점에서의 접선 기울기를 모아놓은 새로운 함수예요. x를 슬라이더로 움직여보면, 위 그래프(f)의 접선이 기울어지는 정도와 아래 그래프(f')의 높이가 항상 정확히 일치하는 걸 확인할 수 있어요.