📉 아인매스 · 수업 활동지

미분 — 평균변화율에서 순간변화율로

고등학교 2학년 · 미분 ⏱ 20~25분

반
번호
이름

학습 목표 — 평균변화율을 구할 수 있고, 구간을 좁혀갈수록 평균변화율이 미분계수(순간변화율)에 가까워짐을 이해하며, 미분계수를 이용해 접선의 방정식을 구할 수 있다.

평균변화율 = {f(b)−f(a)} / (b−a) | 미분계수 f'(a) = lim_h→0 {f(a+h)−f(a)}/h
x=a에서의 접선의 방정식: y−f(a) = f'(a)(x−a)

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1평균변화율 구하기

f(x)=x²일 때

① x=1에서 x=3까지의 평균변화율

② x=1에서 x=1.1까지의 평균변화율

2미분계수와 접선의 방정식

f(x)=x²의 도함수는 f'(x)=2x예요.

① f'(1)의 값(x=1에서의 순간변화율)

② x=1에서 f(x)=x²에 접하는 접선의 방정식

3생각 넓히기 — 극한으로 이어지는 평균변화율

Q. 활동 1의 ②(2.1)와 활동 2의 ①(2)을 비교하세요. 구간을 1에서 1.01, 1.001로 점점 더 좁힐수록 평균변화율은 어떤 값에 가까워질까요? 그 이유도 설명하세요.

교사용 · 학생 배부 전 가려주세요

정답 및 풀이

활동 1 — ① {f(3)−f(1)}/2=(9−1)/2=4 ② {f(1.1)−f(1)}/0.1=(1.21−1)/0.1=2.1

활동 2 — ① f'(1)=2×1=2 ② y−1=2(x−1) → y=2x−1

활동 3 — 평균변화율은 점점 2에 가까워져요. 구간의 폭 h를 0에 한없이 가깝게 줄이면, 평균변화율의 극한이 바로 x=1에서의 미분계수(순간변화율)가 되기 때문이에요.