x를 어떤 값에 한없이 가깝게 움직여보며 f(x)가 어디로 다가가는지 확인하고, 그래프가 끊어지는 세 가지 방식(구멍·도약·발산)을 비교해봐요.
"함수의 극한"이라고 하면 어렵게 들리지만, 사실은 단순한 질문이에요. "x가 어떤 값에 한없이 가까워지면, f(x)는 어디로 다가갈까?"라는 거예요. 함숫값이 실제로 그 점에서 정의되어 있는지와는 별개의 질문이라서, 정의되지 않은 점에서도 극한은 존재할 수 있어요.
이 개념은 나중에 배우는 미분(순간변화율)과 적분(넓이)의 뿌리가 돼요. 미분은 "간격을 한없이 좁히는 극한"으로, 적분은 "직사각형을 한없이 잘게 쪼개는 극한"으로 정의되거든요. 극한 없이는 두 개념 모두 정의할 수조차 없어요.
슬라이더로 x를 1에 점점 가깝게 움직이며 f(x)가 어떤 값으로 다가가는지 확인해보고, 아래에서는 구멍·도약·발산 세 가지 방식으로 그래프가 끊어지는 모습을 직접 비교해보세요.
극한 — f(x) = (x²−1)/(x−1)은 x=1에서 분모가 0이 되어 정의되지 않아요. 하지만 x=1이 아닌 곳에서는 (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1과 완전히 같아서, x를 1에 한없이 가깝게 움직이면 f(x)는 2에 한없이 가까워져요. 이게 바로 "x→1일 때 f(x)의 극한이 2"라는 뜻이에요.
x0.50
f(x) = (x²−1) ÷ (x−1)
연속이려면 세 가지가 모두 맞아야 해요: ①f(c)가 정의되어 있고, ②극한 lim(x→c)f(x)가 존재하고, ③그 둘이 같아야(f(c)=극한값) 해요. 아래 세 가지 예시는 각각 다른 이유로 이 조건이 깨져요.