x를 어떤 값에 한없이 가깝게 움직여보며 f(x)가 어디로 다가가는지 확인하고, 그래프가 끊어지는 세 가지 방식(구멍·도약·발산)을 비교해봐요.
극한 — f(x) = (x²−1)/(x−1)은 x=1에서 분모가 0이 되어 정의되지 않아요. 하지만 x=1이 아닌 곳에서는 (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1과 완전히 같아서, x를 1에 한없이 가깝게 움직이면 f(x)는 2에 한없이 가까워져요. 이게 바로 "x→1일 때 f(x)의 극한이 2"라는 뜻이에요.
x0.50
f(x) = (x²−1) ÷ (x−1)
연속이려면 세 가지가 모두 맞아야 해요: ①f(c)가 정의되어 있고, ②극한 lim(x→c)f(x)가 존재하고, ③그 둘이 같아야(f(c)=극한값) 해요. 아래 세 가지 예시는 각각 다른 이유로 이 조건이 깨져요.