직사각형이나 삼각형의 넓이는 공식으로 바로 구할 수 있어요. 그런데 y=x²처럼 곡선으로 휘어진 도형의 넓이는 어떻게 구할까요? 직접적인 공식이 없으니, 대신 직사각형 여러 개로 잘라서 근사하는 아이디어를 써요. 이 방법을 구분구적법이라고 불러요 — 구간을 나누어(구분) 넓이를 구한다(구적)는 뜻이에요.
f(x)=x²와 x축 사이, 0≤x≤2 구간의 넓이를 구한다고 해봐요. 이 구간을 n개의 작은 구간으로 쪼개고, 각 구간마다 높이가 f(x)인 얇은 직사각형을 세워요. 직사각형 n개의 넓이를 모두 더하면 실제 넓이의 근삿값이 나와요. 문제는 직사각형은 각이 져 있고 곡선은 매끈해서, 딱 맞아떨어지지 않고 살짝 어긋난다는 거예요.
여기서 핵심 아이디어가 등장해요. 직사각형 개수 n을 늘릴수록 각 직사각형은 더 얇아지고, 곡선에서 삐져나오는 부분도 점점 줄어들어요. n을 무한히 늘리는 극한을 취하면, 어긋나는 부분이 정확히 0이 되면서 직사각형 합이 실제 넓이와 완전히 같아져요. 이 극한값을 정적분이라고 부르고 ∫₀²x²dx라고 써요(∫는 옛날식 S자로, "합"을 뜻하는 Sum에서 왔어요). 극한 개념이 다시 한번 핵심 역할을 하고 있죠?
정적분에는 신기한 성질이 하나 있어요. f(x)=x처럼 그래프가 x축 아래로도 내려가는 함수를 적분하면, x축 위쪽 넓이는 더하고 아래쪽 넓이는 빼는 "부호가 있는 넓이(순 넓이)"가 나와요. 예를 들어 -1부터 2까지 f(x)=x를 적분하면, 0부터 2까지의 삼각형 넓이(+2)에서 -1부터 0까지의 삼각형 넓이(−0.5)를 뺀 1.5가 나와요. 일반적인 도형 넓이는 항상 양수지만, 정적분값은 이렇게 음수가 되거나 서로 상쇄될 수도 있어요.
정적분은 실생활에서 "누적된 변화량"을 계산할 때 아주 유용해요. 속도 그래프를 적분하면 이동 거리가 나오고(속도가 음수인 구간, 즉 되돌아가는 구간은 거리를 깎아먹어요), 소득 흐름을 적분하면 총소득이 나와요. 수도꼭지에서 물이 나오는 속도를 안다면, 그 속도를 일정 시간 동안 적분해서 총 받은 물의 양을 계산할 수도 있어요 — 순간의 변화율을 모아서 누적된 전체 양을 알아내는 것, 그게 바로 적분이 하는 일이에요.
아이들과 공부할 때는 직접 모눈종이에 곡선을 그리고, 작은 사각형 칸을 세어 넓이를 어림해보게 하는 게 좋아요. 칸을 더 잘게(작은 눈금으로) 세면 셀수록 답이 더 정확해진다는 걸 직접 경험하면, "왜 극한을 취하는지"가 자연스럽게 이해돼요. 저희 체험 페이지에서는 직사각형 개수 n을 슬라이더로 늘려가며 넓이가 정확한 값에 다가가는 과정과, x축 아래 넓이가 실제로 빠지는 모습을 직접 확인할 수 있어요.