옛날 수학자들은 눈금 없는 자(직선을 긋는 용도)와 컴퍼스(원을 그리고 길이를 옮기는 용도), 이 두 가지 도구만으로 정확한 도형을 그리는 방법을 연구했어요. 먼저 대표적인 작도 과정을 단계별로 살펴본 다음, 직접 작도 문제에 도전해보세요.
사용법 — "예시 보기"에서는 버튼으로 단계를 하나씩 넘기며 작도 과정을 구경해요. "직접 작도하기"에서는 자나 컴퍼스를 고른 다음, 점을 두 개 차례로 눌러보세요. 자는 두 점을 지나는 직선을, 컴퍼스는 첫 번째 점을 중심으로 두 번째 점까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그려요. 직선·원이 서로 만나는 자리에는 새로운 점이 자동으로 생겨서, 다음 작도에 계속 사용할 수 있어요. 반지름을 고정하거나, 확대·축소하거나, 마지막 작도를 취소할 수도 있어요.
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두 도구만으로 할 수 있는 일은 딱 두 가지뿐이에요 — 이미 표시된 두 점을 지나는 직선 긋기, 그리고 이미 표시된 한 점을 중심으로, 다른 두 점 사이의 거리를 반지름 삼아 원 그리기. 신기하게도 이 두 가지만 반복해도 수직이등분선, 각의 이등분선, 정삼각형, 정오각형, 정육각형, 정팔각형처럼 정확한 도형을 만들 수 있어요.
🤔 그럼 정칠각형(7각형)은 왜 예시에 없을까요? 정삼각형·정오각형·정육각형·정팔각형과 달리, 정칠각형은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 절대로 작도할 수 없다는 것이 수학적으로 증명되어 있어요! 어떤 정다각형을 작도할 수 있는지는 변의 개수가 2의 거듭제곱과 "페르마 소수"(3, 5, 17, 257, 65537처럼 특별한 소수)들의 곱으로 나타나는지에 달려 있는데, 7은 이 조건을 만족하지 못하거든요. "이렇게 하면 안 된다"는 사실도 수학으로 증명할 수 있다는 게 신기하지 않나요?