正多面体（プラトンの立体）とは、すべての面が合同な正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まっているへこみのない立体です。こういう形は無限にありそうに思えますが、実はちょうど5種類しかありません。角度を調整しながら、その理由を自分で確かめてみましょう。
平面上の正多角形は、辺の数をいくらでも増やしてつくれます。ところが立体の正多面体は、正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類しかありません。なぜちょうどこの数に決まっているのでしょうか。
秘密は、1つの頂点に集まる角の合計にあります。紙を折ってとがった点をつくるには、その1点に集まる角の和が360°より小さくなければなりません。ちょうど360°なら平らに広がり、それより大きいと紙が重なってしまって折ることすらできません。正多角形の辺の数（n）と1つの頂点に集まる面の数（p）をどう組み合わせても、この条件を満たすのは5通りだけです。
スライダーでnとpを変えて、角の和が360°に達したり超えたりしたとたんに折れなくなる瞬間を、自分で確かめてみましょう。
正多面体の頂点には、いくつかの正多角形が集まっています。紙と同じように、とがった立体の角（頂点）に折れるには、集まった角の和が360°より小さくなければなりません。360°ちょうどなら平らに広がり、360°を超えると重なってしまって折れません。n（辺の数）とp（1つの頂点に集まる面の数）を変えて、自分で確かめてみましょう。
正多角形の内角は、辺の数が多いほど大きくなります（正三角形60°、正方形90°、正五角形108°、正六角形120°…）。また、立体ができるには1つの頂点に少なくとも3つの面が集まる必要があります。この2つの条件に「角の和 < 360°」というルールを合わせると、成り立つのは次の5通りだけです。
下から立体を選び、マウスや指でドラッグして自由に回してみましょう。
| 名前 | シュレーフリ記号 | 面の形 | 頂点に集まる面 | V | E | F |
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