正三角形、正方形、正五角形……。平面上の正多角形は、辺の数をいくつにしても限りなくつくれます。では立体の場合、「すべての面が合同な正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まっている」もの（これを正多面体といいます）も、無限に多くの種類をつくれるのでしょうか？意外なことに、答えはノーです。正多面体は宇宙全体でちょうど5種類。正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体で、これですべてです。
なぜ5種類しかないのかを理解するには、まず立体の頂点がどうやってできるのかを考える必要があります。平らな紙の上で、1つの点のまわりに正多角形をいくつか集め、その点を少し持ち上げてとがらせるところを想像してください。紙を折ってとがらせる余裕が残るためには、その1点に集まる角の和が360°より小さくなければなりません。ちょうど360°だと完全に平らに広がってしまい、360°をこえると紙が重なって折ることすらできません。だから正多面体のどの頂点も、「角の和が360°より小さい」状態になっている必要があるのです。
では、正多角形の内角を1つずつ調べてみましょう。正三角形の内角は60°です。3枚集めると180°、4枚で240°、5枚で300°となり、どれもまだ360°に届かないので折ることができます。しかし6枚集めるとちょうど360°になって平らになり、もう立体にはなりません。つまり正三角形では、3枚・4枚・5枚を集める3通りだけが可能です（それぞれ正四面体、正八面体、正二十面体になります）。正方形の内角は90°なので、3枚（270°）だけが可能で、4枚（360°）だと平らになります（立方体）。正五角形の内角は108°なので、3枚（324°）だけが可能です（正十二面体）。正六角形からは内角が120°以上なので、最低の3枚でもすでに360°に達し、最初から立体はつくれません。こうしてすべての場合を調べると、可能な組み合わせはちょうど5通りだとわかります。
この5つの正多面体は古代から知られていました。古代ギリシャの数学者ユークリッドは、著書『原論』の最終巻をまるごと使って、正多面体がちょうど5種類であることを証明しています。哲学者プラトンは、この5つの形が火・土・空気・水、そして宇宙（エーテル）という5つの元素を象徴していると考えました。そのため正多面体は、いまでも「プラトンの立体」と呼ばれることがあります。
正多面体には、もうひとつ興味深い性質があります。どの正多面体でも、頂点の数（V）から辺の数（E）を引いて面の数（F）を足すと、必ず2になります（V − E + F = 2）。これをオイラーの多面体定理といい、実は正多面体だけでなく、へこみのないすべての凸多面体で成り立つ、ずっと一般的な性質です。立方体で確かめると、頂点8、辺12、面6で、8 − 12 + 6 = 2とぴったり合います。
正多面体は身のまわりでも簡単に見つかります。ボードゲームのサイコロはふつう立方体ですが、正四面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の形をしたサイコロも実際に売られています。正二十面体はサッカーボールの模様に似ていますし（正確には、サッカーボールは正二十面体の角を切り落とした半正多面体です）、化学の世界でも、一部のウイルスの殻やある種の分子の構造が正二十面体の形をしています。「ちょうど5種類」という数学の事実は、自然の中にも人がつくるものの中にも、何度もくり返しあらわれるのです。
体験ページでは、スライダーで正多角形の辺の数（n）と1つの頂点に集まる面の数（p）を自分で変えながら、角の和が360°をこえた瞬間になぜ形ができなくなるのかを確かめられます。さらに5つの正多面体を3Dで回転させて、頂点・辺・面の数を自分で数えてみましょう。