정다면체(플라톤의 다면체)는 모든 면이 합동인 정다각형이고, 모든 꼭짓점에 같은 개수의 면이 모이는 볼록다면체예요. 이런 도형은 무한히 많을 것 같지만, 사실 정확히 5가지만 존재해요. 각도를 직접 조절해보면서 그 이유를 확인해보세요.
평면 위의 정다각형은 변의 개수를 늘리면 끝없이 만들 수 있지만, 입체도형인 정다면체는 딱 5가지뿐이에요 — 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체. 왜 이렇게 개수가 딱 정해질까요?
비밀은 꼭짓점에 모이는 각도의 합에 있어요. 종이를 뾰족하게 접으려면 한 점에 모인 각의 합이 360°보다 작아야 해요. 정확히 360°면 평평하게 펴지고, 그보다 크면 아예 겹쳐서 접을 수 없거든요. 정다각형의 변의 수(n)와 한 꼭짓점에 모이는 면의 수(p)를 아무리 조합해봐도, 이 조건을 만족하는 경우는 딱 5가지뿐이에요.
슬라이더로 n과 p를 바꿔가며, 각의 합이 360°를 넘거나 딱 맞는 순간 도형이 접히지 않는 걸 직접 확인해보세요.
정다면체의 꼭짓점에서는 여러 개의 정다각형이 모여요. 이때 모인 각의 합이 360°보다 작아야만 종이처럼 접혀서 뾰족한 입체 모서리(꼭짓점)를 만들 수 있어요. 360°와 같으면 평평하게 펴지고, 360°를 넘으면 겹쳐서 접을 수 없어요. n(변의 수)과 p(꼭짓점에 모이는 면의 수)를 바꿔가며 확인해보세요.
정다각형의 내각은 변이 많아질수록 점점 커져요 (정삼각형 60°, 정사각형 90°, 정오각형 108°, 정육각형 120°...). 그리고 한 꼭짓점에는 최소 3개의 면이 모여야 입체가 만들어져요. 이 두 조건과 "각의 합 < 360°" 규칙을 함께 적용하면, 성립하는 조합은 다음 5가지뿐이에요.
아래에서 도형을 선택하고, 그림을 마우스나 손가락으로 드래그해서 자유롭게 돌려보세요.
| 이름 | 슐레플리 기호 | 면의 모양 | 꼭짓점에 모인 면 | V | E | F |
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