정다면체(플라톤의 다면체)는 모든 면이 합동인 정다각형이고, 모든 꼭짓점에 같은 개수의 면이 모이는 볼록다면체예요. 이런 도형은 무한히 많을 것 같지만, 사실 정확히 5가지만 존재해요. 각도를 직접 조절해보면서 그 이유를 확인해보세요.
① 꼭짓점에서 각도의 합을 실험해보기
정다면체의 꼭짓점에서는 여러 개의 정다각형이 모여요. 이때 모인 각의 합이 360°보다 작아야만 종이처럼 접혀서 뾰족한 입체 모서리(꼭짓점)를 만들 수 있어요. 360°와 같으면 평평하게 펴지고, 360°를 넘으면 겹쳐서 접을 수 없어요. n(변의 수)과 p(꼭짓점에 모이는 면의 수)를 바꿔가며 확인해보세요.
정다각형의 변의 수 (n)3
한 꼭짓점에 모이는 면의 수 (p)3
② 왜 이 조합만 가능할까요?
정다각형의 내각은 변이 많아질수록 점점 커져요 (정삼각형 60°, 정사각형 90°, 정오각형 108°, 정육각형 120°...). 그리고 한 꼭짓점에는 최소 3개의 면이 모여야 입체가 만들어져요. 이 두 조건과 "각의 합 < 360°" 규칙을 함께 적용하면, 성립하는 조합은 다음 5가지뿐이에요.