Trace un cercle dans un carré, puis disperse des points complètement au hasard dans ce carré. Rien qu'avec la proportion de points tombés dans le cercle, tu peux, étonnamment, estimer la valeur de pi (π). Cette façon de trouver π par les probabilités plutôt que par le calcul s'appelle la méthode de Monte-Carlo.
Trace un cercle de rayon 1 qui remplit un carré de côté 2 : l'aire du carré vaut 4, et celle du cercle vaut π. Donc aire du cercle ÷ aire du carré = π/4. Si tu disperses des points de façon parfaitement uniforme et aléatoire dans le carré, la probabilité qu'un point tombe dans le cercle se rapproche elle aussi de ce même rapport (π/4). Tu peux donc estimer π ≈ 4 × (points dans le cercle ÷ nombre total de points).
Appuie sur le bouton pour disperser des points au hasard. Les points tombés dans le cercle apparaissent en violet, ceux à l'extérieur en gris.
Chaque fois que tu disperses des points ci-dessus, vérifie sur le graphique à quel point l'estimation se rapproche de la vraie valeur de π (3.14159...).
Malheureusement, la méthode de Monte-Carlo converge très lentement. Pour diviser l'erreur par dix, il faut multiplier le nombre de points par cent (10² fois) : c'est la « règle en 1/√n ». Obtenir π avec 6 décimales exactes demanderait de disperser littéralement des milliards de points.
Des méthodes comme « périmètre ÷ diamètre » ou la série de Leibniz, vues plus tôt sur la page des nombres remarquables, atteignent un π précis bien plus vite. La méthode de Monte-Carlo reste pourtant importante : pour des problèmes comme les formes complexes ou les espaces de grande dimension, où il est difficile d'établir une formule exacte, cette approche « disperser au hasard et compter la proportion » est souvent pratiquement la seule solution disponible.
En pratique, la méthode de Monte-Carlo est utilisée dans une foule de domaines : conception de réacteurs nucléaires, évaluation des produits financiers, prévisions météo, simulations pour la mise au point de médicaments, etc. L'estimation de π est à peu près l'exemple le plus simple pour découvrir par toi-même cette méthode puissante.