정사각형 안에 원을 하나 그려 넣고, 그 정사각형 안에 점을 완전히 무작위로 뿌려보세요. 점이 원 안에 떨어진 비율만 알면, 신기하게도 원주율 π의 값을 추정할 수 있어요. 계산이 아니라 확률로 π를 구하는 이 방법을 몬테카를로 방법이라고 해요.
한 변의 길이가 2인 정사각형 안에 반지름 1인 원을 꽉 채워 그리면, 정사각형의 넓이는 4, 원의 넓이는 π예요. 그러니 원의 넓이 ÷ 정사각형의 넓이 = π/4가 되죠. 정사각형 안에 점을 완전히 고르게 무작위로 뿌리면, 점이 원 안에 떨어질 확률도 이 비율(π/4)에 가까워져요. 그래서 π ≈ 4 × (원 안의 점 개수 ÷ 전체 점 개수)로 추정할 수 있어요.
버튼을 눌러 무작위 점을 뿌려보세요. 원 안에 떨어지면 보라색, 밖에 떨어지면 회색으로 표시돼요.
위에서 점을 뿌릴 때마다, 그 시점까지의 추정값이 실제 π(3.14159...)에 얼마나 가까워지는지 그래프로 확인해보세요.
아쉽게도 몬테카를로 방법은 수렴이 아주 느려요. 오차를 10분의 1로 줄이려면 점의 개수를 100배(10²배)로 늘려야 해요 — 이런 걸 "1/√n 법칙"이라고 해요. 소수점 6자리까지 정확한 π를 얻으려면 점을 수십억 개는 뿌려야 할 정도예요.
앞서 특별한 수 페이지에서 봤던 "원의 둘레 ÷ 지름"이나 라이프니츠의 급수 같은 방법들은 훨씬 빠르게 정확한 π에 다가가요. 그럼에도 몬테카를로 방법이 중요한 이유는, 복잡한 도형이나 고차원 공간처럼 정확한 공식을 세우기 어려운 문제에서는 이렇게 "무작위로 뿌려보고 비율을 세는" 방법이 사실상 유일한 해법일 때가 많기 때문이에요.
실제로 몬테카를로 방법은 원자로 설계, 금융 상품 가격 계산, 일기예보, 신약 개발 시뮬레이션 등 아주 다양한 분야에서 쓰이고 있어요. π 추정은 이 강력한 방법을 가장 쉽게 체험해볼 수 있는 예제인 셈이에요.