정사각형 종이 위에 그 안에 꽉 차게 원을 하나 그려보세요. 그리고 눈을 감고 그 정사각형 안에 점을 아무렇게나 콕콕 찍어보세요. 계속 찍다 보면 어떤 점은 원 안에, 어떤 점은 원 밖 네 귀퉁이에 떨어질 거예요. 놀랍게도, 이렇게 순전히 무작위로 점을 뿌리기만 해도 원주율 π의 값을 꽤 정확하게 추정할 수 있어요. 계산이 아니라 확률로 π를 구하는 이 방법을 몬테카를로 방법이라고 해요.
원리는 넓이 비율에 있어요. 한 변의 길이가 2인 정사각형 안에 반지름 1인 원을 꽉 채워 그리면, 정사각형의 넓이는 2×2=4이고, 원의 넓이는 π×1²=π예요. 그러니 원의 넓이 ÷ 정사각형의 넓이 = π/4가 성립해요. 이제 정사각형 안에 점을 완전히 고르게(균등하게) 무작위로 뿌린다고 생각해보면, 한 점이 원 안에 떨어질 확률도 이 넓이 비율과 똑같이 π/4에 가까워질 거예요.
그래서 공식을 뒤집으면 π ≈ 4 × (원 안의 점 개수 ÷ 전체 점 개수)가 돼요. 점을 100개만 뿌리면 추정값이 3.0이 나왔다가 3.3이 나왔다가 들쭉날쭉하지만, 점을 수천 개, 수만 개로 늘려갈수록 원 안에 떨어진 비율이 점점 π/4라는 진짜 확률에 가까워지고, 추정한 π 값도 3.14159...에 점점 다가가요. 이건 "충분히 많이 반복하면 실제 확률에 가까워진다"는 큰 수의 법칙이 눈앞에서 작동하는 모습이에요.
다만 몬테카를로 방법은 수렴 속도가 아주 느리다는 단점이 있어요. 오차를 10분의 1로 줄이려면 점의 개수를 100배로 늘려야 할 정도예요(흔히 "1/√n 법칙"이라고 불러요). 그래서 소수점 여러 자리까지 정확한 π가 필요하다면, 원주율을 구하는 다른 빠른 공식들(원의 둘레를 지름으로 나누거나, 급수를 이용하는 방법들)이 훨씬 효율적이에요.
그런데도 몬테카를로 방법이 여전히 중요하게 쓰이는 이유는, 정확한 공식을 세우기 어려운 복잡한 문제에서 진가를 발휘하기 때문이에요. 원자로 안에서 중성자가 어떻게 튕겨 다니는지, 복잡한 금융 상품의 가격이 시간에 따라 어떻게 변할지, 내일 날씨가 어떻게 될지 같은 문제들은 정확한 계산식을 세우기가 거의 불가능해요. 이럴 때 "무작위로 수많은 경우를 시뮬레이션해보고 그 결과의 비율을 세는" 몬테카를로 방법이 사실상 유일한 현실적인 해법이 돼요.
저희 체험 페이지에서는 버튼 하나로 점을 100개, 1000개씩 정사각형 안에 뿌려볼 수 있고, 점이 늘어날수록 추정한 π 값이 실제 π(3.14159...)에 점점 가까워지는 과정을 그래프로 직접 확인할 수 있어요. 점 몇 개로는 들쭉날쭉하던 값이 점점 안정되는 걸 눈으로 보면, 확률과 통계가 왜 강력한 도구인지 훨씬 실감 나게 느껴질 거예요.