Trace un cercle qui remplit une feuille de papier carrée. Puis ferme les yeux et marque des points au hasard, n'importe où dans ce carré. En continuant, certains points tombent dans le cercle, d'autres dans les quatre coins à l'extérieur. Chose remarquable, rien qu'en jetant des points au hasard de cette façon, on peut estimer assez précisément la valeur du nombre pi (π). Cette façon de trouver π par les probabilités plutôt que par le calcul s'appelle la méthode de Monte-Carlo.
Le principe repose sur un rapport d'aires. Trace un cercle de rayon 1 qui remplit un carré de côté 2 : l'aire du carré vaut 2×2=4, et celle du disque π×1²=π. On a donc aire du disque ÷ aire du carré = π/4. Imagine maintenant qu'on jette des points au hasard de façon parfaitement régulière (uniforme) dans le carré : la probabilité qu'un point tombe dans le cercle doit elle aussi se rapprocher de ce même rapport d'aires, π/4.
En retournant la formule, on obtient π ≈ 4 × (points dans le cercle ÷ nombre total de points). Avec seulement 100 points, l'estimation fait le yoyo — 3.0 une fois, 3.3 la suivante —, mais en passant à des milliers, puis des dizaines de milliers de points, la proportion qui tombe dans le cercle se rapproche de plus en plus de la vraie probabilité π/4, et la valeur estimée de π se rapproche de plus en plus de 3.14159.... C'est la loi des grands nombres — « répète une expérience assez souvent et la fréquence s'approche de la vraie probabilité » — qui se déroule sous tes yeux.
Cela dit, la méthode de Monte-Carlo a un défaut : elle converge très lentement. Pour diviser l'erreur par dix, il faut multiplier le nombre de points par cent (on parle souvent de « règle en 1/√n »). Si tu as besoin de π avec beaucoup de décimales exactes, d'autres formules rapides pour calculer pi (diviser le périmètre d'un cercle par son diamètre, ou des méthodes utilisant des séries infinies) sont bien plus efficaces.
Malgré tout, la méthode de Monte-Carlo reste très importante, car elle brille vraiment sur les problèmes complexes pour lesquels il est difficile d'établir une formule exacte. Comment les neutrons rebondissent dans un réacteur nucléaire, comment le prix d'un produit financier compliqué va évoluer, quel temps il fera demain — tout cela est presque impossible à décrire par une formule exacte. Dans ces cas-là, la méthode de Monte-Carlo — « simuler au hasard un très grand nombre de cas et compter la proportion des résultats » — devient en pratique la seule solution réaliste.
Sur notre page d'activité, tu peux jeter 100 ou 1 000 points dans un carré d'une simple pression sur un bouton, et voir de tes propres yeux sur un graphique comment la valeur estimée de π se rapproche de plus en plus du vrai π (3.14159...) à mesure que les points s'accumulent. Voir une valeur qui faisait le yoyo avec quelques points se stabiliser peu à peu rend bien plus concret le fait que les probabilités et les statistiques sont des outils si puissants.