La règle tient en deux lignes. Si le nombre est pair, divise-le par 2 ; s'il est impair, multiplie-le par 3 et ajoute 1. Répète l'opération, et la conjecture de Syracuse (Collatz) affirme que, quel que soit le nombre de départ, on finit toujours par atteindre 1. La règle est aussi simple que ça, et pourtant personne n'a réussi à la démontrer depuis qu'elle a été posée en 1937.
Choisis un nombre. S'il est pair, divise-le par 2 ; s'il est impair, multiplie-le par 3 et ajoute 1. Applique la même règle au nouveau nombre obtenu. En répétant ce processus, tous les nombres vérifiés par ordinateur jusqu'ici ont fini par tomber dans une boucle qui tourne en rond : 4 → 2 → 1.
La question est : « est-ce vraiment vrai pour tous les entiers naturels ? » Aussi grand que soit le nombre de départ, aussi folles que semblent ses montées et descentes, il a toujours fini à 1 jusqu'ici — mais il n'existe toujours aucune preuve que ce soit « toujours vrai pour tous les nombres ».
Choisis un nombre de départ et utilise le curseur pour le suivre étape par étape. Les nombres pairs sont en bleu, les impairs en corail.
Selon le nombre de départ, le nombre d'étapes pour atteindre 1 et la valeur maximale atteinte en chemin varient énormément. Même un petit nombre comme 27 demande 111 étapes et monte jusqu'à 9232.
Ce problème, posé pour la première fois en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz, est particulièrement célèbre parce que sa règle est assez simple pour qu'un élève d'école primaire la comprenne. Les ordinateurs ont vérifié tous les nombres inférieurs à 2⁶⁸ (environ 3×10²⁰), et on n'a pas trouvé une seule exception.
Mais comme la règle agit de façon complètement différente selon que le nombre est pair ou impair, il n'existe pas de bonne théorie mathématique pour traiter un nombre qui grandit et rétrécit à la fois. Le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős est allé jusqu'à dire que les mathématiques ne sont tout simplement pas encore prêtes pour ce problème. Un prix est même promis à qui le résoudra, si bien que des mathématiciens et des amateurs du monde entier s'y attaquent encore aujourd'hui.