La règle tient en deux lignes. Si un nombre est pair, divise-le par 2 ; s’il est impair, triple-le et ajoute 1. Applique de nouveau la même règle au nombre obtenu. En partant de 3, par exemple, on obtient 3→10→5→16→8→4→2→1 : on atteint 1 en 7 étapes. Ce problème, posé pour la première fois en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz, est particulièrement célèbre parce que sa règle est assez simple pour qu’un élève de primaire la comprenne.
La conjecture de Syracuse (ou de Collatz) affirme que « quel que soit l’entier naturel de départ, en répétant cette règle on finit toujours par atteindre 1 ». Des ordinateurs ont vérifié tous les nombres inférieurs à 2⁶⁸ (environ 3×10²⁰) sans trouver la moindre exception. Mais attention, c’est le point essentiel : cela signifie seulement que c’est « vrai dans la plage vérifiée jusqu’ici ». Personne n’a encore réussi à démontrer que c’est toujours vrai pour tout entier naturel. La conjecture de Syracuse reste à ce jour un problème non résolu des mathématiques.
Si la règle est si simple, pourquoi le problème n’est-il pas encore résolu ? Parce que la règle agit de façon complètement différente selon que le nombre est pair ou impair, et qu’il n’existe pas de bonne théorie mathématique pour traiter un nombre qui grandit et rapetisse à la fois. Être un petit nombre ne rend pas les choses faciles non plus : 27 n’a que deux chiffres, et pourtant il lui faut 111 étapes pour atteindre 1, en montant jusqu’à 9 232 en chemin. La règle est prévisible, mais le parcours réel rebondit presque comme au hasard.
Le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős est allé jusqu’à dire à propos de ce problème que « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour ce genre de problème ». Une récompense y est aussi attachée, si bien que des mathématiciens et des amateurs du monde entier s’y attaquent encore aujourd’hui. Certains mathématiciens pensent qu’« on finira peut-être par trouver une exception qui tombe dans une boucle autre que 1 », d’autres qu’« elle finira par être démontrée » — mais aucun des deux camps n’a encore de réponse définitive.
Sur notre page d’activité, tu peux choisir un nombre de départ et suivre le calcul étape par étape avec un curseur, en voyant de tes propres yeux les nombres pairs (bleu) et impairs (corail) alterner. Tu peux aussi comparer sur un graphique le nombre d’étapes pour atteindre 1 et la valeur maximale atteinte en chemin pour chaque nombre de 1 à 30, et repérer toi-même des nombres remarquables comme 27.