Ce problème vient d'un vieux jeu télévisé américain. Il y a 3 portes : une voiture derrière l'une d'elles, des chèvres derrière les deux autres. Le candidat choisit une porte, puis le présentateur (qui sait où se trouve la voiture) ouvre l'une des deux portes restantes, derrière laquelle se trouve une chèvre. Il demande alors au candidat : « Tu gardes ta porte de départ, ou tu changes pour l'autre ? »
La plupart des gens se disent : « Il reste deux portes, donc c'est du 50-50, non ? » Mais ce n'est pas la bonne réponse. Changer de porte te donne 2 chances sur 3 de gagner la voiture, alors que garder ta porte ne t'en donne que 1 sur 3. Changer est exactement deux fois plus avantageux. Ce résultat heurte tellement l'intuition qu'il a même provoqué de vrais débats entre mathématiciens.
La clé, c'est que le présentateur n'ouvre pas « une porte au hasard ». Il sait où est la voiture et ouvre toujours une porte cachant une chèvre. Ce fait donne discrètement au candidat une information importante. Au départ, le candidat a 1 chance sur 3 de choisir la voiture et 2 chances sur 3 de choisir une chèvre. S'il a choisi une chèvre (le cas à 2/3), le présentateur est obligé d'ouvrir l'autre porte à chèvre : la porte restante, celle qu'on obtient en changeant, cache donc forcément la voiture. En revanche, s'il a choisi la voiture au départ (le cas à 1/3), changer fait évidemment perdre. Au total, la stratégie « changer » réussit exactement aussi souvent que « choisir une chèvre au départ », c'est-à-dire 2 fois sur 3.
Si ça ne te paraît toujours pas évident, imagine la même situation avec 100 portes. Une seule des 100 portes cache une voiture, le candidat en choisit une, puis le présentateur ouvre 98 des 99 portes restantes — toutes des portes à chèvre — et n'en laisse qu'une fermée. La probabilité que ton premier choix soit la voiture n'est que de 1/100 ; celle que la dernière porte restante cache la voiture est donc de 99/100. Le présentateur a en quelque sorte « fait le tri et écarté toutes les portes inutiles » pour toi, ce qui rend bien plus évident que changer est de loin le meilleur choix.
Ce problème est devenu célèbre parce qu'il montre à quel point notre intuition des probabilités peut facilement se tromper. Se fier à son instinct, sans calculer précisément comment les probabilités changent quand une nouvelle information arrive, mène vite à l'erreur. C'est justement pour ça que simuler toi-même de nombreuses parties et observer les résultats de tes propres yeux est le moyen le plus sûr de comprendre.
Sur notre page d'activité, tu peux choisir une porte toi-même et décider de changer ou de garder, partie après partie — et le bouton « Simuler 100 parties » te permet d'en jouer beaucoup d'un coup et de voir de tes propres yeux le taux de victoire en changeant et en gardant se stabiliser près de 2/3 et 1/3.