미국의 옛날 TV 게임쇼에서 유래한 문제예요. 문이 3개 있고, 하나 뒤에는 자동차, 나머지 둘 뒤에는 염소가 있어요. 참가자가 문 하나를 고르면, 사회자(정답을 아는 사람)가 남은 두 문 중 염소가 있는 문을 하나 열어 보여줘요. 그러고 나서 참가자에게 묻습니다. "처음 고른 문을 그대로 유지하시겠어요, 다른 문으로 바꾸시겠어요?"
대부분의 사람들은 "문이 두 개 남았으니 50대50 아닌가?"라고 생각해요. 그런데 정답은 그렇지 않아요. 문을 바꾸면 자동차를 얻을 확률이 2/3이고, 그대로 두면 1/3이에요. 바꾸는 쪽이 정확히 두 배 유리한 거죠. 수학자들 사이에서도 한때 논쟁이 있었을 만큼 직관에 어긋나는 결과예요.
핵심은 사회자가 "아무 문이나 무작위로" 여는 게 아니라는 점이에요. 사회자는 정답을 알고 있고, 항상 염소가 있는 문만 열어줘요. 이 사실이 중요한 정보를 참가자에게 몰래 넘겨주는 셈이에요. 처음에 참가자가 자동차를 고를 확률은 1/3, 염소를 고를 확률은 2/3이죠. 만약 처음에 염소를 골랐다면(2/3의 경우), 사회자는 남은 염소 문을 열 수밖에 없고, 그러면 바꿨을 때 남는 문은 반드시 자동차예요. 반대로 처음에 자동차를 골랐다면(1/3의 경우), 바꾸면 당연히 손해죠. 정리하면, 바꾸는 전략은 "처음에 염소를 골랐을 확률"인 2/3만큼 성공하는 셈이에요.
이해가 잘 안 된다면 문을 100개로 늘려서 생각해보는 게 도움이 돼요. 문 100개 중 하나에만 자동차가 있고, 참가자가 하나를 고른 뒤 사회자가 나머지 99개 중 염소 문 98개를 몽땅 열어 딱 1개만 남긴다고 해봐요. 처음에 고른 문이 자동차일 확률은 겨우 1/100이니, 남은 그 1개의 문에 자동차가 있을 확률은 99/100이나 돼요. 사회자가 "쓸모없는 문들을 골라서 치워준" 셈이니, 바꾸는 게 압도적으로 유리하다는 게 훨씬 분명하게 느껴지죠.
이 문제가 유명해진 이유는, 확률에 대한 우리의 직관이 얼마나 쉽게 틀릴 수 있는지를 보여주기 때문이에요. "정보가 추가되면 확률이 어떻게 바뀌는지" 정확히 계산해보지 않고 감으로 판단하면 틀리기 쉬워요. 그래서 직접 여러 판을 시뮬레이션해서 눈으로 확인하는 게 가장 확실한 방법이에요.
저희 체험 페이지에서는 직접 문을 고르고 바꿀지 말지 선택하며 플레이할 수 있고, "자동 100판 시뮬레이션" 버튼으로 한 번에 많은 판을 돌려 바꿨을 때와 유지했을 때의 승률이 각각 2/3, 1/3에 가까워지는 걸 눈으로 확인할 수 있어요.