Imagine que tu zoomes de plus en plus sur la photo d'un flocon de neige. Pour une forme ordinaire, tout paraîtrait de plus en plus simple à mesure que tu zoomes ; mais pour certaines formes, une forme tout aussi complexe continue d'apparaître, aussi loin que tu zoomes. Prends un petit morceau et agrandis-le : il ressemble étonnamment à la forme entière. Cette propriété s'appelle l'autosimilarité, et une forme qui la possède s'appelle une fractale.
L'une des fractales les plus célèbres est le flocon de Koch. Sa construction est très simple. Pars d'un triangle équilatéral et remplace le tiers central de chaque côté par une pointe triangulaire. Puis, pour chaque côté de la nouvelle forme, recommence exactement la même opération. À chaque fois, le nombre de côtés est multiplié par 4. On part de seulement 3 côtés, mais après quelques répétitions, on obtient un flocon complexe avec des milliers, voire des dizaines de milliers de côtés.
C'est là que se produit quelque chose de vraiment étrange. À chaque répétition, le périmètre est multiplié par 4/3 ; répété à l'infini, le périmètre devient infini ! Mais qu'en est-il de l'aire du flocon ? Comme l'aire ne peut jamais dépasser celle du cercle qui entoure le triangle de départ, elle ne dépasse jamais une certaine valeur, quoi qu'il arrive. Une ligne infiniment longue se retrouve entièrement contenue dans une aire finie : cela heurte notre intuition, mais c'est un fait que l'on peut démontrer rigoureusement en mathématiques.
Une autre fractale célèbre est le triangle de Sierpiński. Trace un triangle équilatéral, relie les milieux de ses trois côtés pour former un petit triangle au centre, puis évide et retire ce triangle central. Ensuite, pour chacun des trois petits triangles restants, recommence exactement la même opération. En continuant, le nombre de triangles restants est multiplié par 3 à chaque fois, tandis que l'aire totale est réduite aux trois quarts, se rapprochant de plus en plus de 0. Et pourtant, une forme étrange apparaît, qui ne disparaît jamais complètement.
Les fractales ne sont pas seulement le fruit de l'imagination des mathématiciens. La façon dont les branches d'un arbre se déploient, la forme d'un éclair, les lignes de crête des montagnes, les ramifications des vaisseaux sanguins ou des bronches dans les poumons, le tracé découpé d'un littoral : tout cela est remarquablement proche des fractales. D'ailleurs, c'est le mathématicien Benoît Mandelbrot, qui avait posé la question « quelle est vraiment la longueur d'une côte ? », qui a le premier nommé et popularisé la notion de fractale ; l'idée lui est venue du fait que la longueur mesurée d'une côte change selon la taille de la règle utilisée pour la mesurer.
Sur notre page d'activité, tu peux augmenter la profondeur étape par étape avec un curseur, et voir par toi-même combien de côtés compte le flocon de Koch et à quel point le triangle de Sierpiński se subdivise finement. Observe de tes propres yeux à quel point une forme peut devenir complexe en répétant simplement la même règle.