눈송이 사진을 계속 확대해서 본다고 상상해보세요. 보통의 도형이라면 확대할수록 점점 단순해 보이겠지만, 어떤 도형들은 아무리 확대해도 처음과 똑같이 복잡한 모양이 계속 나와요. 작은 조각 하나를 떼어내서 확대해보면, 그 조각이 전체 모양과 놀랍도록 닮아 있어요. 이런 성질을 자기 닮음(self-similarity)이라고 하고, 이런 도형을 프랙탈이라고 불러요.
가장 유명한 프랙탈 중 하나가 코흐 눈송이예요. 만드는 방법은 아주 간단해요. 정삼각형에서 시작해서, 모든 변의 가운데 3분의 1 부분을 뾰족한 삼각형 돌기로 바꿔요. 그리고 새로 생긴 도형의 모든 변에 대해 또다시 똑같은 과정을 반복해요. 한 번 할 때마다 변의 개수는 4배로 늘어나요. 처음엔 변이 3개뿐이지만, 몇 번만 반복해도 수천, 수만 개의 변을 가진 복잡한 눈송이 모양이 만들어져요.
여기서 정말 신기한 일이 벌어져요. 반복할 때마다 둘레의 길이는 4/3배씩 계속 늘어나서, 무한히 반복하면 둘레의 길이는 무한대가 돼요! 그런데 눈송이가 차지하는 넓이는 어떨까요? 넓이는 원래 삼각형을 감싸는 원보다 커질 수 없기 때문에, 특정한 값 이상으로는 절대 커지지 않아요. 무한히 긴 선이 유한한 넓이 안에 완전히 담기는 거예요 — 우리 직관으로는 이상하게 느껴지지만, 수학적으로는 정확히 증명할 수 있는 사실이에요.
또 다른 유명한 프랙탈은 시에르핀스키 삼각형이에요. 정삼각형 하나를 그리고, 세 변의 가운데 점을 이어서 가운데에 작은 삼각형을 하나 만든 다음, 그 가운데 삼각형을 뻥 뚫어서 없애버려요. 남은 세 개의 작은 삼각형에 대해서도 또 똑같은 과정을 반복해요. 이걸 계속하면, 남아있는 삼각형의 개수는 3배씩 늘어나지만, 전체 넓이는 계속 4분의 3씩 줄어들어서 결국 0에 가까워져요. 그런데도 완전히 사라지지는 않는 신기한 도형이 만들어져요.
프랙탈은 수학자들이 상상 속에서만 만들어낸 게 아니에요. 나뭇가지가 뻗어나가는 모양, 번개가 치는 모양, 산맥의 능선, 혈관이나 폐 속 기관지가 갈라지는 모양, 해안선의 들쭉날쭉한 모습 모두 프랙탈에 아주 가까워요. 실제로 "해안선의 길이는 얼마나 될까?"라는 질문을 던진 수학자 브누아 망델브로가 프랙탈이라는 개념을 처음 이름 붙이고 널리 알렸는데, 그는 자를 얼마나 작게 재느냐에 따라 해안선의 길이가 계속 달라진다는 사실에서 이 아이디어를 떠올렸어요.
저희 체험 페이지에서는 단계를 슬라이더로 하나씩 늘려가면서, 코흐 눈송이의 변이 몇 개까지 늘어나는지, 시에르핀스키 삼각형이 얼마나 작게 쪼개지는지 직접 확인할 수 있어요. 같은 규칙을 반복하는 것만으로 얼마나 복잡한 모양이 만들어지는지 눈으로 지켜보세요.