Si reúnes una gran cantidad de datos que varían de forma natural (como la estatura, las calificaciones de un examen o el peso) y los graficas, sorprendentemente aparece una y otra vez una forma parecida. Los valores se acumulan mucho cerca de la media y se vuelven cada vez más raros a medida que se alejan de ella, trazando una suave forma de campana. Esta curva se llama distribución normal.
La forma de una distribución normal queda determinada por exactamente dos números. La media μ decide dónde está el centro de la curva, y la desviación estándar σ decide qué tan extendida está. Si σ es pequeña, los valores se agrupan muy cerca de la media, así que la curva se vuelve alta y angosta; si σ es grande, los valores se dispersan mucho, así que la curva se vuelve baja y ancha. Si cambias la media μ, la forma de la curva no cambia: solo se desplaza completa hacia la izquierda o la derecha.
La distribución normal tiene una regla utilísima: alrededor del 68% de todos los datos cae a menos de una desviación estándar de la media (±1σ), alrededor del 95% dentro de ±2σ y alrededor del 99.7% dentro de ±3σ. Esta regla 68-95-99.7 es una propiedad notable que siempre se cumple, sin importar cuánto valgan la media y la desviación estándar; es decir, para cualquier distribución normal.
Pero cuando las distribuciones tienen medias y desviaciones estándar distintas, es difícil comparar dos valores usando solo las calificaciones originales. Por ejemplo, ¿qué es relativamente mejor: un 85 en un examen de matemáticas con media 70 y desviación estándar 10, o un 78 en un examen de lengua con media 60 y desviación estándar 15? Justo aquí entra la puntuación estándar (puntuación z). Se calcula como z = (x − μ) / σ, y este valor indica "a cuántas desviaciones estándar de la media está mi calificación".
Si la calculas para el ejemplo anterior, matemáticas da z = (85−70)/10 = 1.5, mientras que lengua da z = (78−60)/15 = 1.2. La calificación de matemáticas tiene el valor z más grande, es decir, está relativamente más lejos por encima de la media; así que puedes decir que, de los dos exámenes, el de matemáticas fue el mejor resultado relativo.
La distribución normal también está muy relacionada con la distribución binomial. Cuando el número de ensayos n se vuelve muy grande, las barras escalonadas de una distribución binomial se acercan cada vez más a una suave forma de campana. Si aumentas n en el "Laboratorio de distribución binomial", puedes ver ese cambio directamente. En la página de actividad puedes cambiar la media y la desviación estándar con controles deslizantes y ver cómo cambia la forma de la curva, y en la pestaña de puntuación estándar puedes escribir una calificación tú mismo y comprobar el valor z y lo que significa.