키, 시험 점수, 몸무게처럼 자연스럽게 변하는 값들을 아주 많이 모아서 그래프로 그려보면 신기하게도 비슷한 모양이 반복해서 나타나요. 평균 근처에 값들이 수북하게 몰려있고, 평균에서 멀어질수록 점점 드물어지는 매끈한 종 모양이에요. 이 곡선을 정규분포(normal distribution)라고 불러요.
정규분포의 모양은 딱 두 숫자로 결정돼요. 평균 μ는 곡선의 중심이 어디에 있는지를 정하고, 표준편차 σ는 곡선이 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 정해요. σ가 작으면 값들이 평균 근처에 촘촘하게 몰려서 곡선이 뾰족하고 좁아지고, σ가 크면 값들이 넓게 흩어져서 곡선이 완만하고 넓적해져요. 평균 μ를 바꾸면 곡선의 모양은 그대로인 채 좌우로 통째로 움직여요.
정규분포에는 아주 유용한 규칙이 하나 있어요. 평균에서 표준편차 1배(±1σ) 안에는 전체의 약 68%가, ±2σ 안에는 약 95%가, ±3σ 안에는 약 99.7%가 들어있다는 거예요. 이 68-95-99.7 법칙은 평균과 표준편차가 무엇이든, 즉 어떤 정규분포든 항상 성립하는 놀라운 성질이에요.
그런데 서로 다른 두 값을 비교하려면 평균과 표준편차가 다른 분포끼리는 원점수만으로 비교하기 어려워요. 예를 들어 평균 70점, 표준편차 10점인 수학 시험에서 85점을 받은 것과, 평균 60점, 표준편차 15점인 국어 시험에서 78점을 받은 것 중 어느 쪽이 상대적으로 더 잘 본 걸까요? 이럴 때 쓰는 게 표준점수(z-score)예요. z = (x − μ) / σ로 계산하는데, 이 값은 '내 점수가 평균에서 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지'를 나타내요.
위 예시로 계산해보면 수학은 z = (85−70)/10 = 1.5, 국어는 z = (78−60)/15 = 1.2예요. z값이 더 큰 수학 점수가 평균에서 상대적으로 더 멀리 떨어져 있으니, 두 시험 중 상대적으로 더 잘 본 쪽은 수학이라고 말할 수 있어요.
정규분포는 이항분포와도 깊게 연결돼 있어요. 시행 횟수 n이 아주 커지면, 울퉁불퉁하던 이항분포의 막대들이 점점 매끈한 종 모양에 가까워지거든요. '이항분포 실험실'에서 n을 크게 늘려보면 그 변화를 직접 확인할 수 있어요. 체험 페이지에서는 평균과 표준편차를 슬라이더로 바꿔가며 곡선의 모양이 변하는 걸 보고, 표준점수 탭에서는 직접 점수를 입력해 z값과 그 의미를 확인할 수 있어요.