Dibuja un círculo que llene una hoja de papel cuadrada. Luego cierra los ojos y marca puntos al azar, en cualquier lugar, dentro de ese cuadrado. Si sigues marcando, algunos puntos caen dentro del círculo y otros en las cuatro esquinas de afuera. Lo sorprendente es que con solo lanzar puntos totalmente al azar puedes estimar con bastante precisión el valor de pi (π). Esta forma de encontrar π con probabilidad, en lugar de con cálculos, se llama método de Montecarlo.
El principio está en una razón entre áreas. Dibuja un círculo de radio 1 que llene un cuadrado de lado 2: el área del cuadrado es 2×2=4 y el área del círculo es π×1²=π. Entonces se cumple que área del círculo ÷ área del cuadrado = π/4. Ahora imagina que lanzas puntos al azar de forma totalmente pareja (uniforme) dentro del cuadrado: la probabilidad de que un punto caiga dentro del círculo también debería acercarse a esa misma razón de áreas, π/4.
Así que, despejando la fórmula, queda π ≈ 4 × (puntos dentro del círculo ÷ total de puntos). Si lanzas solo 100 puntos, la estimación rebota: 3.0 una vez, 3.3 la siguiente. Pero al subir a miles o decenas de miles de puntos, la fracción que cae dentro del círculo se acerca cada vez más a la probabilidad real de π/4, y el valor estimado de π se acerca cada vez más a 3.14159.... Es la ley de los grandes números ("si repites algo suficientes veces, te acercas a la probabilidad real") ocurriendo frente a tus ojos.
Dicho eso, el método de Montecarlo tiene una desventaja: converge muy lentamente. Para reducir el error a la décima parte, tienes que multiplicar por cien el número de puntos (esto suele llamarse la "regla de 1/√n"). Por eso, si necesitas π con muchas cifras decimales, otras fórmulas rápidas para calcular pi (dividir la circunferencia de un círculo entre su diámetro, o métodos con series infinitas) son mucho más eficientes.
Aun así, el método de Montecarlo sigue siendo muy importante, porque brilla de verdad en problemas complejos donde es difícil plantear una fórmula exacta. Preguntas como cómo rebotan los neutrones dentro de un reactor nuclear, cómo cambiará con el tiempo el precio de un producto financiero complicado o cómo estará el clima mañana son casi imposibles de capturar con una fórmula exacta. En casos así, el método de Montecarlo ("simula al azar muchísimos casos y cuenta la proporción de los resultados") se vuelve, en la práctica, la única solución realista disponible.
En nuestra página de actividad puedes lanzar 100 o 1,000 puntos dentro de un cuadrado con solo presionar un botón y ver en una gráfica, con tus propios ojos, cómo el valor estimado de π se acerca cada vez más al verdadero π (3.14159...) a medida que se acumulan los puntos. Ver cómo un valor que rebotaba muchísimo con pocos puntos se va estabilizando poco a poco hace mucho más tangible por qué la probabilidad y la estadística son herramientas tan poderosas.