Imagina que haces zoom cada vez más en la foto de un copo de nieve. En una figura común, todo se vería más y más simple a medida que te acercas; pero en ciertas figuras sigue apareciendo una forma igual de compleja, por mucho que hagas zoom. Toma un trocito, amplíalo, y resulta que se parece muchísimo a la figura completa. Esta propiedad se llama autosimilitud, y una figura que la tiene se llama fractal.
Uno de los fractales más famosos es el copo de nieve de Koch. Su construcción es muy sencilla. Empieza con un triángulo equilátero y reemplaza el tercio central de cada lado por un pico triangular. Luego, en cada lado de la nueva figura, repite exactamente el mismo proceso. Cada vez que lo haces, el número de lados se multiplica por 4. Empieza con solo 3 lados, pero tras unas pocas repeticiones obtienes un copo de nieve intrincado con miles e incluso decenas de miles de lados.
Aquí pasa algo realmente extraño. Con cada repetición, el perímetro crece por un factor de 4/3, así que, repitiendo infinitamente, ¡el perímetro se vuelve infinito! ¿Y el área que ocupa el copo de nieve? Como el área nunca puede ser mayor que la del círculo que encierra al triángulo original, jamás pasa de cierto valor. Una línea infinitamente larga termina contenida por completo en un área finita: se siente raro para nuestra intuición, pero es un hecho que se puede demostrar con precisión matemática.
Otro fractal famoso es el triángulo de Sierpiński. Dibuja un triángulo equilátero, une los puntos medios de sus tres lados para formar un triangulito en el centro y luego recorta y quita ese triángulo central. Después, en cada uno de los tres triangulitos que quedan, repite exactamente el mismo proceso. Si sigues así, el número de triángulos que quedan se multiplica por 3 cada vez, mientras que el área total se reduce a tres cuartas partes de lo que era, acercándose cada vez más a 0. Y aun así aparece una figura extraña que nunca desaparece del todo.
Los fractales no son algo que los matemáticos solo soñaron en su imaginación. La forma en que se ramifican los árboles, la figura de un rayo, las crestas de las montañas, la ramificación de los vasos sanguíneos o de las vías respiratorias en los pulmones, la forma irregular de una costa: todo eso se acerca muchísimo a ser un fractal. De hecho, fue el matemático Benoit Mandelbrot, quien se preguntó "¿cuánto mide realmente una costa?", el primero en darle nombre al concepto de fractal y popularizarlo; la idea le vino de que la longitud medida de una costa cambia según qué tan pequeña sea la regla que uses para medirla.
En nuestra página de actividad puedes aumentar la profundidad paso a paso con un deslizador y ver por ti mismo cuántos lados llega a tener el copo de nieve de Koch y qué tan fino se va subdividiendo el triángulo de Sierpiński. Observa con tus propios ojos lo compleja que puede volverse una figura con solo repetir la misma regla.