맞춰진 큐브에 같은 동작 하나를 계속 되풀이하면, 중간에 아무리 뒤죽박죽이 되어도 언젠가 처음 상태로 돌아와요. 몇 번 만에 돌아오는지는 직접 돌려 보지 않아도 최소공배수로 미리 계산할 수 있어요.
기호 읽는 법: U(윗면) · D(아랫면) · L(왼쪽 면) · R(오른쪽 면) · F(앞면) · B(뒷면). 글자 하나는 그 면을 정면에서 봤을 때 시계 방향으로 90° 돌린다는 뜻이에요. R'처럼 작은따옴표가 붙으면 반시계 방향, R2처럼 2가 붙으면 180° 돌려요. 입체 큐브 옆의 작은 그림은 큐브를 펼친 전개도예요 (가운데 줄 왼쪽부터 L · F · R · B).
1. 직접 돌려 보기
버튼을 눌러 면을 돌려 보세요. 큐브를 끌면 이리저리 돌려 볼 수 있어요. 가운데 칸은 절대 움직이지 않는다는 것도 확인해 보세요.
전개도: 보이지 않는 뒷면까지 한 번에 보여요
돌린 횟수 0
2. 몇 번 만에 처음으로 돌아올까?
동작 묶음을 고르거나 직접 입력하세요. 먼저 몇 번 만에 돌아올지 계산하고, 정말 그 횟수에 돌아오는지 큐브를 돌려서 확인해요.
전개도: 보이지 않는 뒷면까지 한 번에 보여요
맞춰진 상태에서 시작해요
왜 최소공배수일까? 동작 묶음을 한 번 할 때마다 각 스티커는 정해진 자리로 옮겨 가요. 스티커를 따라가 보면 몇 개의 자리를 빙글빙글 도는 고리를 이루는데, 길이가 3인 고리의 스티커는 3번마다, 길이가 7인 고리의 스티커는 7번마다 제자리에 와요. 모든 스티커가 동시에 제자리에 오는 건 모든 고리 길이의 공배수 번째이고, 그중 가장 먼저 오는 때가 최소공배수예요.
R U에서 길이 15인 고리가 생기는 이유: 꼭짓점 조각 5개가 한 바퀴 돌아 제자리에 와도, 조각이 비틀려 있어서 스티커 색은 아직 어긋나 있어요. 꼭짓점 조각은 스티커가 3개라 세 바퀴(5 × 3 = 15번)를 돌아야 색까지 맞아요.
3. 큐브의 상태는 모두 몇 가지일까?
큐브는 조각으로 나눠 세면 경우의 수를 곱의 법칙으로 셀 수 있어요. 한 줄씩 곱해 보세요.
꼭짓점 조각 8개를 8자리에 늘어놓는 방법 (8!)
40,320
꼭짓점 조각의 방향 (조각마다 3가지). 마지막 1개는 나머지 7개가 정해지면 저절로 정해지므로 37
2,187
모서리 조각 12개를 12자리에 늘어놓는 방법 (12!)
479,001,600
모서리 조각의 방향 (조각마다 2가지). 마지막 1개는 저절로 정해지므로 211
2,048
조각 두 개만 맞바꾼 상태는 만들 수 없어요 (15퍼즐과 같은 홀짝성). 그래서 절반만 가능 ÷ 2
÷ 2
1
4. 순서를 바꾸면? 되돌리려면?
수의 덧셈과 곱셈은 순서를 바꿔도 결과가 같아요(교환법칙). 큐브 돌리기도 그럴까요? 두 동작을 골라 순서만 바꿔 보세요.
와(과)
마주 보는 면(R과 L, U와 D, F와 B)끼리는 함께 움직이는 조각이 하나도 없어서 순서를 바꿔도 결과가 같아요. 이웃한 면끼리는 모서리 조각과 꼭짓점 조각을 나눠 쓰기 때문에 순서를 바꾸면 결과가 달라져요. 수학에도 이런 계산이 있어요. 함수의 합성 g∘f와 f∘g, 행렬의 곱 AB와 BA는 대개 서로 달라요.
되돌리려면 거꾸로
동작 묶음을 한 뒤 처음 상태로 되돌려 보세요. 각 동작을 반대로 돌리기만 하면 될까요?
전개도: 보이지 않는 뒷면까지 한 번에 보여요
양말을 신고 신발을 신었다면, 벗을 때는 신발을 먼저 벗고 양말을 나중에 벗어요. 큐브도 같아요. R U F를 되돌리려면 마지막에 돌린 F부터 거꾸로, F' U' R' 순서로 돌려야 해요. 수학에서는 이 규칙을 (AB)-1 = B-1A-1로 써요. 역함수와 역행렬에서도 똑같이 성립해요.
5. 1260 사냥: 480개를 함께 찾아요
큐브에서 동작 묶음 하나의 주기는 아무리 길어도 1260을 넘지 못해요. 컴퓨터로 모든 경우를 따져 보면 1260을 만들려면 최소 5번은 돌려야 하고, 5번 돌려서 주기가 1260이 되는 동작 묶음은 정확히 480가지예요 (같은 면을 연달아 돌리지 않는 경우). 방문자들이 함께 480개를 모두 찾아봐요.
힌트 돌린 횟수에 따른 가장 긴 주기는 1번 4 · 2번 105 · 3번 360 · 4번 840 · 5번 1260이에요. 480개는 모두 180° 돌리기(2)가 딱 한 번 들어 있고, 서로 다른 면 4개를 써요.