ax²+bx+c=0의 두 근을 α, β라 하면, 근의 공식으로 직접 구하지 않아도 α+β = −b/a, αβ = c/a라는 걸 미리 알 수 있어요. 계수 a, b, c를 슬라이더로 바꿔가며, 실제로 근을 구해서 더하고 곱한 값이 이 공식과 항상 일치하는지 확인해보세요.
왜 이런 관계가 성립할까요? ax²+bx+c = a(x−α)(x−β)로 인수분해된다고 하면, 우변을 전개했을 때 x²의 계수를 맞추기 위해 양변을 a로 나눠보면 x²+(b/a)x+(c/a) = x²−(α+β)x+αβ가 돼요. 두 다항식이 같으려면 x의 계수와 상수항이 각각 같아야 하니까, −(α+β) = b/a, αβ = c/a가 나와요. 이걸 정리하면 α+β = −b/a, αβ = c/a예요.
이 관계를 알면 근을 직접 구하지 않고도 "두 근의 합이 얼마인가?", "두 근의 곱이 얼마인가?" 같은 문제를 계수만 보고 바로 풀 수 있어요.