❄️ コッホ雪片
周の長さは限りなく増えるのに、
面積は有限のまま
正三角形の各辺の真ん中に、とがった出っぱりをくり返し付け足していくと「コッホ雪片」ができます。驚いたことに、周の長さは無限大に増えていくのに、面積はもとの三角形の8/5倍をこえない有限の値におさまります。スライダーで自分でつくってみましょう。
なぜこうなるの？ 1回くり返すごとに、線分の数は4倍になり、1本の線分の長さは1/3になります。だから周の長さは毎回4/3倍になり（4/3 > 1なので限りなく増えます）、一方で新しく加わる面積はどんどん小さなかけらになるので、合計はある有限の値をこえられないのです。
💡 このように1次元（線）と2次元（面）の「あいだ」にある図形をフラクタルといいます。コッホ雪片の次元は約1.26。線よりは複雑ですが、平面をすべて埋めつくすわけではありません。