生徒が23人いる教室を思い浮かべてください。「この中に誕生日が同じ2人はいるかな？」と聞くと、たいていの人は「まさか。1年は365日もあるんだから」と答えます。ところが実際に計算してみると、その確率は本当に50%を超えるのです。直感とあまりに食い違うので、この問題は誕生日のパラドックスと呼ばれています。名前に反して論理的な矛盾はまったくなく、単に私たちの直感がまちがえやすいポイントなのです。
勘違いが起きるのは、たいてい「自分と誕生日が同じ人」を思い浮かべてしまうからです。特定の1人と誕生日が同じ人を見つけるには、確かにとても多くの人が必要です。でも、この問題が聞いているのはそういうことではありません。23人のうち、どの2人でもいいから一致すれば成功なのです。比べるべきは「自分とほかの全員」ではなく「考えられるすべてのペア」だという点がポイントです。
23人いると、できるペアの数は23×22÷2 = 253組です。「この2人は誕生日が同じかも？」と確かめるチャンスが253回もあるわけですから、少なくとも1組が当たる確率はぐんと高くなります。人数はたった23人でも、比べなければならないペアの数はその10倍以上ある――これが錯覚の本当の理由です。
正確な確率は、まず「だれも一致しない確率」を求め、それを1から引いて計算します。1人目の誕生日はまだだれとも重なりません（365/365）。2人目は1人目と違えばよいので364/365、3人目は前の2人と違えばよいので363/365……というように、(365−i)/365をn回かけ合わせると「だれも一致しない確率」になります。これを23人までかけると値は約0.493、つまり49.3%まで下がり、1から引くと一致する確率は約50.7%になります。
数字だけではピンとこなければ、こう考えてみてください。5人なら一致する確率はわずか2.7%です。ところが23人では50.7%、40人では89%、70人では99.9%と、ほぼ確実になります。人数は5人から70人へ14倍になっただけなのに、確率は2.7%からほぼ100%まで跳ね上がりました。ペアの数が人数のおよそ2乗に比例して増えるからです。
私たちのアクティビティページでは、スライダーで人数を自分で変えながら、理論上の確率がどう変わるかをグラフで確かめられます。人数ごとの棒グラフを比べれば、23人あたりで確率がどれほど急に跳ね上がるかもよくわかります。実際にランダムな誕生日を引くシミュレーションボタンもあるので、回数を重ねるほど実際の一致率が理論値に近づいていく様子を、自分の目で見ることができます。