Il y a une infinité de chambres, alors même complet, ce n'est pas un problème
Imagine un hôtel dont les chambres 1, 2, 3, ... continuent à l'infini. Toutes les chambres sont occupées. Et pourtant, quand un nouveau client arrive, ou même quand arrive tout un car transportant une infinité de clients, l'hôtel peut tous les loger ! Essaie toi-même pour voir comment.
L'astuce : On dit à chaque client : « Merci de passer de la chambre n à la chambre n+1. » La chambre 1 se libère alors. Si un car infini arrive, on dit au client de la chambre n : « Merci de passer à la chambre 2n. » Toutes les chambres impaires se libèrent alors, et l'infinité de nouveaux clients peut être logée.
L'hôtel est actuellement complet, à partir de la chambre 1
💡 C'est possible parce que l'infini n'est pas « un très grand nombre » mais une notion d'une autre nature. Ce serait impossible dans un hôtel fini, mais avec un ensemble « infini dénombrable » comme celui des entiers naturels, l'ensemble tout entier et certaines de ses parties (comme les seuls nombres pairs ou les seuls nombres impairs) peuvent être considérés comme ayant la même « taille » — un phénomène étrange qui n'arrive qu'avec l'infini.