Apprendre sin, cos et tan avec un triangle rectangle suppose toujours une chose : l'angle θ doit être compris entre 0° et 90°. Cette contrainte paraît évidente, puisqu'il s'agit d'un angle dans un triangle ; mais le problème, c'est que pour étudier des objets qui tournent ou des phénomènes qui se répètent périodiquement (une grande roue, un pendule, le courant alternatif), il faut le sinus et le cosinus d'angles comme 120°, 200°, voire 720°. Un triangle ne peut tout simplement pas contenir de tels angles : s'appuyer uniquement sur les triangles mène donc à une impasse.
L'idée qui résout ce problème, c'est le cercle trigonométrique. Trace un cercle de rayon exactement 1 centré à l'origine du repère, et place sur ce cercle un point P, obtenu en tournant d'un angle θ à partir de la partie positive de l'axe des x. Ici, on renverse complètement la définition : au lieu du « rapport des côtés d'un triangle rectangle », on redéfinit sin et cos comme « les coordonnées du point P lui-même ». Autrement dit, l'abscisse de P est cos θ, et son ordonnée est sin θ.
Pour voir pourquoi cette définition est naturelle, regarde ce qui se passe quand θ est compris entre 0° et 90°. Forme un triangle rectangle dont les trois sommets sont l'origine O, le point P et le pied de la perpendiculaire abaissée de P sur l'axe des x : comme l'hypoténuse mesure toujours 1 (le rayon), « côté opposé ÷ hypoténuse » et « côté adjacent ÷ hypoténuse » deviennent exactement l'ordonnée et l'abscisse. La définition par le cercle trigonométrique contient et prolonge donc la définition par les rapports trigonométriques que tu connais déjà : elle ne jette pas ce que tu as appris, elle élargit simplement son domaine, sur les 360°, et même aux angles négatifs ou à des valeurs comme 720°.
Dès que l'angle dépasse 90°, les signes des coordonnées changent, et une régularité intéressante apparaît. Découpe le cercle en quatre parties (quadrants) : dans le 1er quadrant (0°–90°), x et y sont tous deux positifs, donc sin, cos et tan sont tous +. Dans le 2e quadrant (90°–180°), x devient négatif, donc seul cos devient −, tandis que sin reste +. Il existe ainsi une règle fixe qui dit quelles valeurs sont + et lesquelles sont − dans chaque quadrant : même sans savoir « combien », tu peux dire « quel signe » rien qu'en regardant dans quel quadrant tu te trouves.
La vraie puissance du cercle trigonométrique ne s'arrête pas là. Imagine que le point P tourne sans arrêt autour du cercle à vitesse constante. Étale l'ordonnée de ce point (sin θ) sur la droite au fil du temps et trace-la sous forme de graphique : une onde (une sinusoïde) apparaît, qui monte et descend en douceur. Cette courbe est un outil fondamental pour décrire tous les phénomènes qui « se répètent à l'identique à intervalles réguliers » : les ondes sonores d'un haut-parleur, la tension du courant alternatif, et même le retour des saisons.
Sur notre page d'activité, tu peux faire tourner toi-même l'angle θ de 0° à 360° avec un curseur, et voir en temps réel les coordonnées du point P, les valeurs de sin/cos/tan et le quadrant dans lequel tu te trouves. Appuie sur le bouton « Rotation auto » et tu verras aussi le point tourner sans arrêt pendant que les courbes du sinus et du cosinus se dessinent à droite.