S'il fallait choisir la formule la plus célèbre de tout le collège, ce serait sans doute a²+b²=c². Quand j'ai appris cette formule, je l'ai simplement apprise par cœur parce qu'elle allait tomber au contrôle ; je ne l'ai vraiment comprise que plus tard, en voyant sur un dessin ce que l'égalité signifie réellement.
Voici l'idée centrale. Dans un triangle rectangle, appelle a et b les deux côtés qui forment l'angle droit, et c le plus long côté (l'hypoténuse). Trace un carré sur chacun des trois côtés : les aires des deux petits carrés, additionnées, sont exactement égales à l'aire du grand carré. Prends le triangle 3-4-5 comme exemple : 3×3=9 et 4×4=16, et leur somme donne 25, ce qui correspond parfaitement à 5×5=25.
Ce qui rend ce théorème particulier, c'est qu'il existe des dizaines de façons différentes de le démontrer. Certaines découpent une figure et réarrangent les morceaux pour montrer que les aires sont égales ; d'autres disposent quatre triangles dans un carré pour montrer la même chose. Sur notre site, il suffit de déplacer ces quatre mêmes triangles pour voir, grâce à une animation, comment l'aire qui ressemblait à c² se sépare à nouveau en a² et b² ; et le voir de tes propres yeux te convainc que « oh, c'est vraiment la même aire » bien plus vite que n'importe quelle explication.
Le théorème de Pythagore sert aussi en dehors de la classe. C'est grâce à lui qu'un menuisier peut utiliser le rapport 3-4-5 au mètre ruban pour vérifier qu'un mur forme un véritable angle droit ; et cette même formule se cache derrière le calcul de la distance à vol d'oiseau entre deux points d'une carte, et même derrière la façon de mesurer la taille d'un écran de télévision ou d'ordinateur.
Ce qui est intéressant, c'est que la « réciproque » de ce théorème est vraie aussi. Autrement dit, si les longueurs des trois côtés d'un triangle vérifient a²+b²=c², ce triangle est forcément rectangle, sans même avoir besoin d'un rapporteur. Ce principe est utilisé depuis l'Antiquité : dans l'Égypte ancienne, on aurait fait des nœuds à intervalles réguliers sur une corde pour former un triangle 3:4:5, afin de tracer précisément les angles droits des pyramides et des champs. Obtenir un angle droit parfait avec une simple corde, à une époque où les techniques d'arpentage étaient loin d'être aussi avancées qu'aujourd'hui, était une idée vraiment astucieuse. Savoir que des menuisiers et des jardiniers utilisent encore aujourd'hui un principe semblable pour vérifier les angles des murs ou des clôtures rend étonnant le fait que des mathématiques vieilles de plusieurs milliers d'années soient toujours bien vivantes.
Petite astuce utile : les combinaisons comme 3-4-5, 5-12-13 et 8-15-17, où les trois côtés sont des nombres entiers, s'appellent des « triplets pythagoriciens », et en retenir quelques-uns accélère beaucoup les calculs quand on résout des exercices. Les enfants aiment souvent qu'on transforme la recherche de ces triplets en quiz. Commence par des exercices qui donnent deux côtés et demandent le troisième, puis, une fois à l'aise, passe à l'inverse : donner trois longueurs et demander « est-ce un triangle rectangle ? », ce qui approfondit encore la réflexion. S'entraîner dans les deux sens apprend naturellement que la même formule sert à la fois d'« outil pour trouver un côté manquant » et d'« outil pour vérifier les propriétés d'un triangle ».