Triangle équilatéral, carré, pentagone régulier... dans le plan, on peut construire un polygone régulier avec autant de côtés qu'on veut, sans limite. Un solide « dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et où le même nombre de faces se rejoint à chaque sommet » (on l'appelle un solide de Platon) peut-il lui aussi exister en une infinité de variétés ? Étonnamment, la réponse est non. Il existe exactement 5 solides de Platon dans tout l'univers : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre, et c'est tout.
Pour comprendre pourquoi il n'y en a que 5, il faut d'abord se demander comment se forme un sommet de solide. Imagine que tu réunis plusieurs polygones réguliers autour d'un même point sur une feuille de papier à plat, puis que tu soulèves légèrement ce point pour former une pointe. Pour qu'il reste assez de jeu dans le papier pour former une pointe, la somme des angles réunis en ce point doit être inférieure à 360°. À exactement 360°, tout reste à plat, et au-delà de 360°, le papier se chevauche et ne peut pas se plier du tout. Chaque sommet d'un solide de Platon doit donc vérifier « la somme des angles est inférieure à 360° ».
Étudions maintenant un par un les angles intérieurs des polygones réguliers. L'angle intérieur d'un triangle équilatéral mesure 60°. Trois triangles donnent 180°, quatre donnent 240°, cinq donnent 300° : aucun n'atteint encore 360°, donc tous peuvent se plier. Mais six donnent exactement 360°, ce qui reste à plat et ne peut plus devenir un solide. Avec des triangles équilatéraux, seuls trois cas sont donc possibles : 3, 4 ou 5 réunis (qui donnent respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre). L'angle intérieur d'un carré mesure 90° : seul 3 (270°) fonctionne, tandis que 4 (360°) reste à plat (le cube). L'angle intérieur d'un pentagone régulier mesure 108° : seul 3 (324°) fonctionne (le dodécaèdre). À partir de l'hexagone régulier, l'angle intérieur mesure 120°, donc même le minimum de 3 atteint déjà 360° : aucun solide ne peut se former. En passant ainsi tous les cas en revue, on découvre qu'exactement 5 combinaisons sont possibles.
Ces 5 solides de Platon sont connus depuis l'Antiquité. Le mathématicien grec Euclide a consacré tout le dernier livre de ses « Éléments » à démontrer qu'il existe exactement 5 solides de Platon. Le philosophe Platon pensait que ces cinq formes symbolisaient les cinq éléments (le feu, la terre, l'air, l'eau et l'univers, ou éther) : c'est pourquoi on les appelle encore aujourd'hui les « solides de Platon ».
Les solides de Platon ont une autre propriété fascinante. Pour n'importe quel solide de Platon, si tu prends le nombre de sommets (V), que tu retranches le nombre d'arêtes (E) et que tu ajoutes le nombre de faces (F), tu obtiens toujours 2 (V − E + F = 2). C'est la formule d'Euler, et c'est en fait une propriété bien plus générale, vraie non seulement pour les solides de Platon mais pour tout polyèdre convexe, du moment qu'il n'est pas creusé. Prends l'exemple du cube : 8 sommets, 12 arêtes, 6 faces, et 8 − 12 + 6 = 2 se vérifie exactement.
Tu peux aussi facilement trouver des solides de Platon autour de toi. Les dés des jeux de société sont le plus souvent des cubes, mais on vend aussi des dés en forme de tétraèdre, d'octaèdre, de dodécaèdre et d'icosaèdre. L'icosaèdre rappelle le motif d'un ballon de football (techniquement, un ballon de foot est un polyèdre semi-régulier obtenu en coupant les coins d'un icosaèdre), et en chimie, l'enveloppe de certains virus et certaines structures moléculaires prennent aussi une forme d'icosaèdre. Le fait mathématique qu'il en existe exactement 5 réapparaît sans cesse, dans la nature comme dans les objets fabriqués par l'homme.
Sur notre page d'activité, tu peux modifier toi-même avec des curseurs le nombre de côtés du polygone régulier (n) et le nombre de faces réunies à un sommet (p), et voir précisément pourquoi la forme cesse d'exister dès que la somme des angles dépasse 360°. Fais ensuite tourner les cinq solides de Platon en 3D et vérifie toi-même leur nombre de sommets, d'arêtes et de faces.