Rassemble une énorme quantité de données qui varient naturellement — taille, notes d’examen, poids — et représente-les sur un graphique : fait remarquable, une forme semblable apparaît encore et encore. Les valeurs s’accumulent fortement près de la moyenne et deviennent de plus en plus rares en s’en éloignant, dessinant une cloche bien lisse. Cette courbe correspond à la loi normale.
La forme d’une loi normale est déterminée par exactement deux nombres. La moyenne μ fixe la position du centre de la courbe, et l’écart type σ fixe à quel point la courbe est étalée. Si σ est petit, les valeurs se regroupent près de la moyenne et la courbe devient pointue et étroite ; si σ est grand, les valeurs se dispersent et la courbe devient plate et large. Change la moyenne μ : la forme de la courbe reste la même, elle se déplace simplement en bloc vers la gauche ou la droite.
La loi normale possède une règle extrêmement utile : environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne (±1σ), environ 95 % à ±2σ et environ 99.7 % à ±3σ. Cette règle 68-95-99.7 est une propriété remarquable, toujours vraie quels que soient la moyenne et l’écart type — c’est-à-dire pour n’importe quelle loi normale.
Mais comparer deux valeurs avec les seules notes brutes est difficile quand les distributions ont des moyennes et des écarts types différents. Par exemple, qu’est-ce qui est relativement meilleur : 85 à un contrôle de maths de moyenne 70 et d’écart type 10, ou 78 à un contrôle de français de moyenne 60 et d’écart type 15 ? C’est justement là qu’intervient la cote z (score standardisé). Elle se calcule par z = (x − μ) / σ, et cette valeur indique « à combien d’écarts types de la moyenne se situe ma note ».
Calcule-la pour l’exemple ci-dessus : en maths, z = (85−70)/10 = 1.5, et en français, z = (78−60)/15 = 1.2. La note de maths a la plus grande valeur de z, elle se situe donc relativement plus loin au-dessus de la moyenne — on peut dire que c’est la meilleure performance relative des deux contrôles.
La loi normale est aussi étroitement liée à la loi binomiale. Quand le nombre d’essais n devient très grand, les barres irrégulières d’une loi binomiale se rapprochent de plus en plus d’une cloche lisse. Augmente n dans le « Labo de la loi binomiale » et tu verras ce changement se produire sous tes yeux. Sur la page d’activité, tu peux changer la moyenne et l’écart type avec des curseurs et regarder la forme de la courbe évoluer, et dans l’onglet du score standardisé, saisir toi-même une note pour vérifier sa valeur de z et ce qu’elle signifie.