Cuando aprendes sen, cos y tan con un triángulo rectángulo, siempre hay una suposición: el ángulo θ tiene que estar entre 0° y 90°. Parece una restricción obvia, porque es un ángulo dentro de un triángulo; el problema es que, para trabajar con objetos que giran o fenómenos que se repiten periódicamente (una rueda de la fortuna, un péndulo, la corriente alterna), necesitas el seno y el coseno de ángulos como 120°, 200° e incluso 720°. Un triángulo simplemente no puede contener esos ángulos, así que depender solo de triángulos te lleva a un callejón sin salida.
La idea que resuelve este problema es el círculo unitario. Dibuja un círculo de radio exactamente 1 con centro en el origen del plano cartesiano y coloca un punto P sobre él, girado un ángulo θ desde el semieje x positivo. Aquí damos la vuelta por completo a la definición: en lugar de "la razón entre los lados de un triángulo rectángulo", redefinimos sen y cos como "las coordenadas del propio punto P". Es decir, la coordenada x de P es cos θ y su coordenada y es sen θ.
Puedes comprobar por qué esta definición es natural viendo qué pasa cuando θ está entre 0° y 90°. Forma un triángulo rectángulo con el origen O, el punto P y el pie de la perpendicular trazada desde P al eje x como vértices: como la hipotenusa siempre mide 1 (el radio), "altura ÷ hipotenusa" y "base ÷ hipotenusa" se vuelven exactamente la coordenada y y la coordenada x. Así, la definición con el círculo unitario incluye y amplía la definición de razones trigonométricas que ya conoces: no tira lo que aprendiste antes, solo amplía dónde se aplica, a los 360° completos e incluso a ángulos negativos o valores como 720°.
Cuando el ángulo pasa de 90°, los signos de las coordenadas cambian y aparece un patrón interesante. Divide el círculo en cuatro partes (cuadrantes): en el cuadrante I (0°–90°) tanto x como y son positivas, así que sen, cos y tan son todas +. En el cuadrante II (90°–180°), x se vuelve negativa, así que solo cos pasa a ser −, mientras que sen sigue siendo +. Hay un patrón fijo como este sobre qué valores son + y cuáles son − en cada cuadrante, así que, aunque no sepas "cuánto vale", puedes saber "qué signo tiene" con solo ver en qué cuadrante estás.
El verdadero poder del círculo unitario no termina ahí. Imagina que el punto P sigue girando por el círculo a velocidad constante. Si extiendes hacia un lado la coordenada y de ese punto (sen θ) a medida que pasa el tiempo y la trazas como gráfica, aparece una onda (una curva senoidal) que sube y baja suavemente. Esta curva es una herramienta fundamental para describir todo fenómeno que "se repite igual a intervalos regulares": las ondas sonoras de una bocina, el voltaje de la corriente alterna e incluso el ciclo de las estaciones.
En nuestra página de actividad puedes girar tú mismo el ángulo θ de 0° a 360° con un deslizador y ver en tiempo real las coordenadas del punto P, los valores de sen/cos/tan y en qué cuadrante estás. Presiona el botón "Giro automático" y también podrás ver el punto girar sin parar mientras las ondas de seno y coseno se dibujan a la derecha.