Si tuvieras que elegir la fórmula más famosa de toda la matemática de secundaria, probablemente sería a²+b²=c². Cuando aprendí esta fórmula por primera vez, simplemente la memoricé porque iba a venir en el examen; solo la entendí de verdad cuando, tiempo después, vi en un dibujo lo que la ecuación significa realmente.
Esta es la idea central. En un triángulo rectángulo, llama a y b a los dos catetos que forman el ángulo recto, y c al lado más largo (la hipotenusa). Si dibujas un cuadrado sobre cada uno de los tres lados, las áreas de los dos cuadrados pequeños, sumadas, dan exactamente el área del cuadrado grande. Toma como ejemplo el triángulo 3-4-5: 3×3=9 y 4×4=16, y al sumarlos obtienes 25, que coincide perfectamente con 5×5=25.
Lo que hace especial a este teorema es que existen decenas de formas distintas de demostrarlo. Algunas recortan una figura y reacomodan las piezas para mostrar que las áreas son iguales; otras colocan cuatro triángulos dentro de un cuadrado para mostrar lo mismo. En nuestro sitio, con solo mover esos mismos cuatro triángulos, una animación muestra cómo el área que parecía c² se separa de nuevo en a² y b², y verlo con tus propios ojos te convence de que "¡sí, de verdad es la misma área!" mucho más rápido que cualquier explicación.
El teorema de Pitágoras también sirve fuera del salón de clases. Gracias a él, un carpintero puede usar la proporción 3-4-5 con una cinta métrica para comprobar si una pared está realmente en ángulo recto, y esta misma fórmula se esconde detrás del cálculo de la distancia en línea recta entre dos puntos de un mapa, e incluso detrás de cómo se mide el tamaño de la pantalla de un televisor o un monitor.
Lo interesante es que el "recíproco" de este teorema también se cumple. Es decir, si las longitudes de los tres lados de un triángulo cumplen a²+b²=c², ese triángulo es con toda seguridad un triángulo rectángulo, sin necesidad de transportador. Este principio se usa desde la antigüedad: se dice que en el antiguo Egipto ataban nudos a intervalos regulares en una cuerda para formar un triángulo 3:4:5, y así trazaban con precisión las esquinas en ángulo recto de pirámides y campos de cultivo. Lograr un ángulo recto perfecto con nada más que una cuerda, en una época en que la topografía no estaba ni de cerca tan avanzada como hoy, fue una idea realmente ingeniosa. Saber que carpinteros y jardineros todavía usan un principio parecido para revisar los ángulos de paredes o cercas hace que resulte asombroso que unas matemáticas de hace miles de años sigan vivas y en uso.
Un consejo útil: combinaciones como 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17, en las que los tres lados son números enteros, se llaman "ternas pitagóricas", y memorizar algunas hace que los cálculos sean mucho más rápidos al resolver problemas. A los chicos suele gustarles bastante cuando buscar estas ternas se convierte en un juego de preguntas. Empieza con problemas que den dos lados y pidan el tercero, y cuando eso ya resulte cómodo, pasa al revés: da tres longitudes y pregunta "¿es un triángulo rectángulo?", lo que lleva el razonamiento un nivel más allá. Practicar en ambas direcciones enseña de forma natural que la misma fórmula sirve como "herramienta para encontrar un lado que falta" y como "herramienta para comprobar las propiedades de un triángulo".