Triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular... en un plano, se puede hacer un polígono regular con cualquier número de lados, sin límite. Entonces, ¿también se puede hacer en infinitas variedades un cuerpo sólido «en el que todas las caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice se junta el mismo número de caras» (a esto se le llama sólido platónico)? Sorprendentemente, la respuesta es no. En todo el universo hay exactamente 5 sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, y no hay más.
Para entender por qué solo hay 5, primero hay que pensar en cómo se forma un vértice de un sólido. Imagina que juntas varios polígonos regulares alrededor de un punto sobre una hoja de papel plana y luego levantas un poco ese punto para doblarlo en forma de pico. Para que al papel le quede holgura suficiente para doblarse en punta, la suma de los ángulos que se juntan en ese punto tiene que ser menor que 360°. Con exactamente 360° queda completamente plano, y con más de 360° el papel se superpone y no se puede doblar. Por eso, cada vértice de un sólido platónico tiene que cumplir que «la suma de los ángulos es menor que 360°».
Ahora revisemos uno por uno el ángulo interior de cada polígono regular. El ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°. Si juntas tres obtienes 180°, cuatro dan 240° y cinco dan 300°: ninguno llega todavía a 360°, así que todos se pueden doblar. Pero si juntas seis obtienes exactamente 360°, que queda plano y ya no puede convertirse en un sólido. Así que con triángulos equiláteros solo hay tres casos posibles: juntar 3, 4 o 5 (que forman el tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente). El ángulo interior de un cuadrado mide 90°, así que solo funciona con 3 (270°), mientras que con 4 (360°) queda plano (el cubo). El ángulo interior de un pentágono regular mide 108°, así que solo funciona con 3 (324°) (el dodecaedro). A partir del hexágono regular, el ángulo interior mide 120°, así que incluso con el mínimo de 3 ya se llega a 360°, lo que significa que desde el principio no se puede formar un sólido. Revisando así todos los casos, se descubre que hay exactamente 5 combinaciones posibles.
Estos 5 sólidos platónicos se conocen desde la Antigüedad. El matemático griego Euclides dedicó todo el último libro de su obra «Elementos» a demostrar que hay exactamente 5 sólidos platónicos. El filósofo Platón creía que estas cinco formas simbolizaban los cinco elementos: fuego, tierra, aire, agua y el universo (el éter). Por eso todavía hoy a los sólidos platónicos a veces se les llama «sólidos de Platón».
Los sólidos platónicos tienen otra propiedad fascinante. En cualquier sólido platónico, si tomas el número de vértices (V), le restas el número de aristas (E) y le sumas el número de caras (F), siempre obtienes 2 (V − E + F = 2). Esto se llama fórmula de Euler, y en realidad es una propiedad mucho más general: no solo la cumplen los sólidos platónicos, sino todo poliedro convexo, siempre que no esté hundido. Toma el cubo como ejemplo: 8 vértices, 12 aristas y 6 caras, y 8 − 12 + 6 = 2 se cumple exactamente.
También puedes encontrar sólidos platónicos fácilmente a tu alrededor. Los dados de los juegos de mesa suelen ser cubos, pero en la vida real también se venden dados con forma de tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. El icosaedro se parece al diseño de un balón de fútbol (técnicamente, un balón de fútbol es un poliedro semirregular que se obtiene recortando las esquinas de un icosaedro), y en química, la cubierta exterior de algunos virus y ciertas estructuras moleculares también tienen forma de icosaedro. El hecho matemático de que haya exactamente 5 aparece una y otra vez en la naturaleza y en las cosas que fabrican las personas.
En nuestra página de actividad, puedes usar deslizadores para cambiar tú mismo el número de lados del polígono regular (n) y el número de caras que se juntan en un vértice (p), y ver exactamente por qué la figura deja de formarse en el momento en que la suma de los ángulos supera los 360°. Después, gira los cinco sólidos platónicos en 3D y comprueba por tu cuenta su número de vértices, aristas y caras.