📐 여러 가지 함수의 미분 실험실
sin, cos, eˣ, ln x…
함수마다 도함수 공식이 달라요
함수 종류를 골라 접선과 도함수 그래프를 비교하고, 극한의 정의로 직접 계산한 기울기가 공식과 정확히 맞아떨어지는지 검증해봐요.
도함수(미분)는 함수가 특정 지점에서 얼마나 빠르게 변하는지 나타내는 값이에요. 그래프 위에서는 그 점에서 그은 접선의 기울기와 정확히 같아요.
함수마다 생김새가 다르니 도함수 공식도 저마다 달라요. 예를 들어 sin x의 도함수는 cos x이고, eˣ의 도함수는 자기 자신인 eˣ 그대로예요. 이런 공식들은 극한의 정의 [f(x+h)−f(x)]÷h에서 h를 0에 한없이 가깝게 보내는 계산을 통해 유도된 거예요.
미분은 속도(위치의 순간 변화율), 가속도(속도의 순간 변화율)처럼 일상에서 지금 이 순간 얼마나 빠르게 바뀌는지를 다룰 때 널리 쓰여요. 함수를 골라 접선이 그려지는 그래프와 도함수 그래프를 나란히 비교해보세요.
도함수는 함수마다 다른 공식을 가져요. x를 슬라이더로 움직이며, 위 그래프(f)의 접선 기울기와 아래 그래프(f')의 높이가 항상 같다는 걸 확인해보세요.
극한으로 검증 — 도함수 공식이 정말 맞는지, 정의 그대로 [f(a+h)−f(a)]÷h를 아주 작은 h로 계산해서 공식값과 비교해봐요. h를 0에 가깝게 줄일수록 두 값이 같아지는 걸 확인할 수 있어요.