📈 도함수의 활용 실험실
f'(x)의 부호만 보면
그래프가 어디로 향할지 보여요
도함수를 구하는 법은 배웠으니, 이제 그걸로 무엇을 할 수 있는지 확인해볼 차례예요. f'(x)의 부호로 증가·감소와 극값을, f''(x)의 부호로 오목·볼록과 변곡점을 찾고, 마지막엔 실제 최적화 문제까지 풀어봐요.
f(x) = x³/3 − x예요. x를 슬라이더로 움직이며 접선(빨간 선)의 기울기, 즉 f'(x)의 부호를 확인해보세요. f'(x)>0이면 함수가 증가하고, f'(x)<0이면 감소해요. f'(x)=0이면서 부호가 바뀌는 지점이 바로 극값(극대·극소)이에요.
f(x) = x³/3 − x · f'(x) = x² − 1
오목·볼록은 f''(x)의 부호로 알 수 있어요. f''(x)>0이면 아래로 볼록(그릇 모양), f''(x)<0이면 위로 볼록(산 모양)이에요. 부호가 바뀌는 지점이 변곡점이에요.
최적화 문제 — 울타리 둘레가 20m로 정해진 직사각형 텃밭이 있어요. 가로 길이 w를 슬라이더로 바꿔가며, 넓이 A(w)가 가장 커지는 지점을 직접 찾아보세요. 도함수 A'(w)=0인 지점이 바로 그 답이에요.
둘레 2(w+l)=20 → l=10−w · A(w) = w(10−w)