도함수를 구하는 법은 배웠으니, 이제 그걸로 무엇을 할 수 있는지 확인해볼 차례예요. f'(x)의 부호로 증가·감소와 극값을, f''(x)의 부호로 오목·볼록과 변곡점을 찾고, 마지막엔 실제 최적화 문제까지 풀어봐요.
f(x) = x³/3 − x예요. x를 슬라이더로 움직이며 접선(빨간 선)의 기울기, 즉 f'(x)의 부호를 확인해보세요. f'(x)>0이면 함수가 증가하고, f'(x)<0이면 감소해요. f'(x)=0이면서 부호가 바뀌는 지점이 바로 극값(극대·극소)이에요. 이런 증가·감소, 극값을 찾는 원리는 이익이 최대가 되는 지점이나 공이 가장 높이 올라가는 순간을 찾는 등 실생활 문제에도 그대로 쓰여요.
f(x)접선극값
x0.00
f(x) = x³/3 − x · f'(x) = x² − 1
오목·볼록은 f''(x)의 부호로 알 수 있어요. f''(x)>0이면 아래로 볼록(그릇 모양), f''(x)<0이면 위로 볼록(산 모양)이에요. 부호가 바뀌는 지점이 변곡점이에요. f'(x)가 그래프의 기울기를 알려준다면, f''(x)는 그 기울기가 점점 커지는지 작아지는지, 즉 곡선이 휘어지는 방향을 알려주는 셈이에요.
현재 위치아래로 볼록위로 볼록변곡점
x0.00
f''(x) = 2x
최적화 문제 — 울타리 둘레가 20m로 정해진 직사각형 텃밭이 있어요. 가로 길이 w를 슬라이더로 바꿔가며, 넓이 A(w)가 가장 커지는 지점을 직접 찾아보세요. 도함수 A'(w)=0인 지점이 바로 그 답이에요. 이렇게 도함수가 0이 되는 지점을 찾는 방법은 상자의 부피를 최대로 만들거나 비용을 최소로 줄이는 등, 실생활 곳곳의 최적화 문제에 그대로 활용돼요.