🌾 아인매스 · 수업 활동지
도함수의 활용
고등학교 2학년 · 도함수의 활용
⏱ 20~25분
반
번호
이름
학습 목표 — f'(x)의 부호로 함수의 증가·감소와 극값을 판단할 수 있고, 도함수를 이용해 넓이를 최대로 만드는 최적화 문제를 풀 수 있다.
f'(x)>0이면 증가, f'(x)<0이면 감소 | f'(x)=0이고 부호가 바뀌는 지점에서 극값을 갖는다
최적화 문제: 구하려는 양을 함수로 나타낸 뒤, 그 함수의 도함수가 0이 되는 지점을 찾는다
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1증가·감소와 극값 판단하기
f(x)=x³−3x일 때
② f'(x)=0이 되는 x의 값을 구하고, 극대·극소를 판단하세요
2최적화 문제 — 넓이를 최대로
둘레가 20m인 직사각형 텃밭의 넓이를 최대로 만들려고 해요. 가로를 x라 하면 세로는 (10−x)예요.
② S(x)가 최대가 되는 x의 값과 최대 넓이
3생각 넓히기 — 변곡점
Q. f(x)=x³−3x의 그래프에서 오목·볼록이 바뀌는 변곡점의 x좌표를 f''(x)=0을 이용해 구하세요.
교사용 · 학생 배부 전 가려주세요
정답 및 풀이
활동 1 — ① f'(x)=3x²−3 ② 3x²−3=0 → x=±1. x<−1(증가) → −1<x<1(감소) → x>1(증가)이므로 x=−1에서 극대, x=1에서 극소
활동 2 — ① S(x)=x(10−x)=10x−x² ② S'(x)=10−2x=0 → x=5, 최대 넓이 S(5)=25m²
활동 3 — f''(x)=6x=0 → x=0에서 변곡점을 가져요.