원이 다각형이나 여러 원의 바깥 둘레를 따라 미끄러지지 않고 한 바퀴 굴러갈 때, 원의 중심은 원래 도형과는 다른 모양의 자취를 그려요. 슬라이더로 원을 직접 굴려보면서, 볼록한 모서리와 오목한 모서리에서 중심이 어떻게 다르게 움직이는지 확인해보세요.
핵심 원리 — 원이 변을 따라 직선으로 굴러갈 때는 중심도 그 변과 나란한 직선을 그리며, 길이는 원래 변의 길이와 거의 같아요(반지름만큼 바깥으로 밀려날 뿐이에요).
원이 볼록한 꼭짓점(내각 180°보다 작은 곳)을 만나면, 중심은 그 꼭짓점을 중심으로 반지름 r인 부채꼴을 그리며 방향을 바꿔요. 이 부채꼴의 중심각은 정확히 그 꼭짓점의 외각(180°−내각)과 같아요.
반대로 오목한 꼭짓점(내각 180°보다 큰 곳, 오목각)에서는 원이 전혀 회전하지 않고 두 변 위를 매끄럽게 이어서 지나가요. 그래서 오목한 부분이 있는 도형은 자취의 길이를 구할 때 부채꼴의 개수도, 직선 부분의 길이도 원래 도형과 달라져요 — 아래에서 직접 확인해보세요.
도형을 골라보세요. 정삼각형·직사각형처럼 볼록다각형은 부채꼴 중심각의 합이 항상 360°지만, 화살표·ㄴ자 모양처럼 오목한 부분이 있는 도형은 그 합이 360°보다 커지고, 오목한 꼭짓점에서는 부채꼴이 아예 생기지 않아요.
크기가 같은 원 여러 개를 한 줄로 붙여 놓고, 그 바깥을 다른 원이 굴러갑니다. 원의 개수(N)와 두 반지름을 바꿔가며 중심의 자취가 어떻게 변하는지 확인해보세요. 원끼리 서로 맞닿아 있는 지점마다 오목한 틈(홈)이 생기는데, 굴러가는 원이 그 틈에 얼마나 깊이 빠지는지는 두 반지름의 비율로 정해져요 — 고정된 원(R)을 키우고 굴러가는 원(r)을 작게 할수록 훨씬 깊이 빠지는 걸 직접 확인해보세요.