(a+b)²= a²+2ab+b², (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ … 전개할 때마다 계수가 어떤 규칙으로 나오는지 궁금했다면, 그 규칙이 바로 이항정리예요. 슬라이더로 거듭제곱 n을 바꿔가며 전개식이 어떻게 늘어나는지, 그리고 각 계수가 파스칼의 삼각형의 어느 줄과 일치하는지 확인해보세요.
이항정리 공식: (a+b)ⁿ을 전개하면 각 항은 ₙCₖ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ 꼴로 나와요 (k = 0, 1, 2, …, n). 여기서 ₙCₖ는 "n개 중에서 k개를 순서 상관없이 고르는 조합의 수"인데, 이게 정확히 전개식의 계수와 일치해요.
왜 조합의 수가 계수가 될까요? (a+b)ⁿ = (a+b)(a+b)⋯(a+b) (n번 곱하는 것)를 전개할 때, 각 항은 n개의 괄호 중 몇 개에서 b를 고르고 나머지에서 a를 고른 결과예요. b를 정확히 k개 고르는 방법의 수가 바로 ₙCₖ이고, 그게 aⁿ⁻ᵏbᵏ 항이 몇 번 나오는지를 결정해요.