Σ 아인매스 · 수업 활동지

급수

고등학교 3학년 · 급수 ⏱ 20~25분

반
번호
이름

학습 목표 — 등비급수의 합을 공식으로 구할 수 있고, 부분합을 이용해 급수의 수렴·발산을 판정할 수 있다.

등비급수의 합(|r| < 1일 때) = a ÷ (1 − r) | 부분합 Sₙ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ | 급수의 수렴 ⇔ {Sₙ}의 수렴

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1등비급수의 합 구하기

① 첫째항 4, 공비 1/2인 등비급수의 합은?

② 첫째항 9, 공비 −1/3인 등비급수의 합은?

③ 등비급수 3 + 3×2 + 3×2² + ⋯는 수렴할까요, 발산할까요? 이유도 함께 쓰세요.

2부분합으로 수렴·발산 판정하기

급수 Σ 1/(n(n+1))의 부분합은 Sₙ = 1 − 1/(n+1)이에요.

① n→∞일 때 Sₙ은 어떤 값에 수렴하나요?

② 항이 전부 5인 급수 Σ 5(=5+5+5+⋯)는 왜 발산하는지 부분합 Sₙ으로 설명하세요.

3생각 넓히기

Q. "급수 Σaₙ이 수렴하면 항 aₙ은 반드시 0으로 수렴한다"는 성질이 있어요. 등비급수의 합 공식 a÷(1−r)이 |r|≥1일 때는 왜 쓸 수 없는지, 이 성질과 연결지어 설명하세요.

교사용 · 학생 배부 전 가려주세요

정답 및 풀이

활동 1 — ① 4÷(1−1/2)=8 ② 9÷(1−(−1/3))=9÷(4/3)=27/4 ③ 공비가 2로 |r|≥1이라서 발산해요(항이 0으로 가지 않고 오히려 커짐).

활동 2 — ① n→∞일 때 1/(n+1)→0이므로 Sₙ→1 ② Sₙ=5n으로 n이 커질수록 한없이 커져서(어떤 값에도 정착하지 못해서) 발산해요.

활동 3 — |r|≥1이면 항 arⁿ⁻¹이 0으로 수렴하지 않아요(오히려 커지거나 부호만 반복돼요). 급수가 수렴하려면 항이 반드시 0으로 가야 하는데 그렇지 않으니, 이 급수는 애초에 발산하고 "합"이라는 값 자체가 존재하지 않아요. 그래서 공식 a÷(1−r)도 이 경우엔 의미가 없어요.