🧩 아인매스 · 수업 활동지
여러 가지 적분법
고등학교 3학년 · 여러 가지 적분법
⏱ 20~25분
반
번호
이름
학습 목표 — 치환적분과 부분적분으로 부정적분을 구할 수 있고, 미적분의 기본정리를 이용해 누적 넓이 함수의 도함수를 구할 수 있다.
치환적분: u=g(x)로 치환해 du=g'(x)dx로 바꿔 적분한다
부분적분: ∫u dv = uv − ∫v du | 미적분의 기본정리: F(x)=∫axf(t)dt 이면 F'(x)=f(x)
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1치환적분
① ∫2x(x²+1)³ dx (u=x²+1로 치환)
2부분적분
① ∫x·eˣ dx (u=x, dv=eˣdx)
② ∫x·cos x dx (u=x, dv=cos x dx)
3생각 넓히기 — 미적분의 기본정리
Q. F(x)=∫₀ˣ t² dt 라고 할 때, F'(x)를 미적분의 기본정리를 이용해 구하세요. 직접 적분하지 않고 답을 구할 수 있는 이유도 설명하세요.
교사용 · 학생 배부 전 가려주세요
정답 및 풀이
활동 1 — ① u=x²+1, du=2x dx → ∫u³du=u⁴/4+C=(x²+1)⁴/4+C ② u=2x, du=2dx → (1/2)sin u+C=(1/2)sin(2x)+C
활동 2 — ① v=eˣ, du=dx → xeˣ−∫eˣdx=eˣ(x−1)+C ② v=sin x, du=dx → x sin x−∫sin x dx=x sin x+cos x+C
활동 3 — 미적분의 기본정리에 의해 F'(x)=x²예요. 누적 넓이 함수 F(x)를 x에 대해 미분하면 원래 피적분함수 f(x)로 돌아오기 때문에, 적분하지 않고도 바로 답을 구할 수 있어요.