🌗 아인매스 · 수업 활동지
쌍곡선
중학교·고등학교 · 이차곡선
⏱ 15~20분
반
번호
이름
학습 목표 — 쌍곡선의 표준형 방정식에서 초점과 점근선을 구할 수 있고, 쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지 거리의 차가 항상 일정함을 이해한다.
x²/a² − y²/b² = 1 → 초점 (±c, 0), c² = a² + b² · 점근선 y = ±(b/a)x
쌍곡선 위의 점 P에 대해 |PF₁ − PF₂| = 2a (일정)
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1표준형 방정식에서 초점과 점근선 구하기
쌍곡선 x²/9 − y²/16 = 1 에 대해 답하세요.
② 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 구하세요.
2두 초점까지 거리의 차
Q. 위 1번의 쌍곡선의 오른쪽 가지 위의 한 점에서 F₁(왼쪽 초점)까지의 거리가 12일 때, F₂(오른쪽 초점)까지의 거리를 구하세요.
3생각 넓히기
Q. a=3, b=4인 쌍곡선의 점근선 방정식을 구하고, 쌍곡선이 원점에서 멀어질수록 이 점근선에 가까워지지만 절대 닿지 않는 이유를 한두 문장으로 설명하세요.
교사용 · 학생 배부 전 가려주세요
정답 및 풀이
활동 1 — ① a²=9→a=3, b²=16→b=4, c²=9+16=25→c=5 ② 초점 (±5, 0), 점근선 y=±(4/3)x
활동 2 — 오른쪽 가지에서는 F₁까지의 거리가 F₂까지의 거리보다 2a=6만큼 커요. 따라서 F₂까지 거리 = 12−6 = 6
활동 3 — 점근선은 y=±(4/3)x예요. 쌍곡선과 점근선 사이의 간격은 원점에서 멀어질수록 점점 좁아지지만, 수학적으로 그 간격이 완전히 0이 되는 지점은 없기 때문에 아무리 멀리 가도 서로 만나지 않아요.