1
가정하기: √2가 유리수라고 가정해요. 그러면 √2 = p/q (p, q는 서로소인 자연수, 즉 더 이상 약분되지 않는 분수)로 쓸 수 있어요.
2
양변 제곱하기: 2 = p²/q², 즉 p² = 2q²예요. 우변이 2의 배수니까, p²도 2의 배수 — 즉 짝수예요.
3
p가 짝수임을 알아내기: p²이 짝수이려면 p 자신도 짝수여야 해요(홀수를 제곱하면 항상 홀수니까요). 그래서 p = 2k로 쓸 수 있어요.
4
대입해서 정리하기: p=2k를 p²=2q²에 넣으면 4k² = 2q², 즉 q² = 2k²이 돼요. 같은 논리로 q²도 짝수니까 q도 짝수예요.
✗
모순 발견! p도 짝수, q도 짝수라면 둘 다 2로 나눠져요. 그런데 처음에 p, q는 "서로소(더 이상 약분 안 됨)"라고 가정했잖아요 — 모순이에요! 그래서 처음 가정("√2 = p/q로 쓸 수 있다")이 틀렸다는 뜻이 되고, √2는 분수로 나타낼 수 없는 수(무리수)예요.