π(파이), e(자연상수), φ(황금비)... 이름은 들어봤지만 정확히 어떤 수인지는 아리송한 특별한 수들이 있어요. 이 수들이 어디서 나오는지, 왜 소수점이 끝없이 이어지는지, 그리고 이 수들 중에서도 유독 신비로운 '초월수'는 무엇인지 하나씩 확인해봐요.
모든 수는 크게 유리수(분수로 정확히 나타낼 수 있는 수)와 무리수(그럴 수 없는 수)로 나뉘어요. 그런데 무리수 중에서도 두 종류가 있어요 — 정수 계수 방정식의 해가 될 수 있는 대수적 무리수와, 그 어떤 정수 계수 방정식의 해도 될 수 없는 초월수예요.
예를 들어 √2는 무리수이지만 x²−2=0의 해이니 대수적 수예요. 반면 π와 e는 아무리 방정식을 만들어봐도 그 해가 될 수 없다는 게 증명됐어요 — 그래서 '초월'수라고 불러요.
원의 둘레를 지름으로 나누면 원의 크기와 상관없이 항상 똑같은 값이 나와요. 그 값이 바로 π ≈ 3.14159265...예요. 지름을 원 둘레에 옮겨 재보면 3번 하고도 조금 더 들어가는 걸 볼 수 있어요.
1년에 100% 이자를 주는 은행이 있다고 해봐요. 이자를 1번만 주면 원금의 2배가 되지만, 이자를 더 잘게 쪼개서 여러 번 줄수록 최종 금액은 점점 커져요. 그런데 무한히 잘게 쪼개도 어떤 값 너머로는 절대 커지지 않아요 — 그 한계값이 바로 e ≈ 2.71828182...예요.
피보나치 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...)에서 이웃한 두 수의 비율을 계속 구하면 점점 φ ≈ 1.61803398...에 가까워져요. 정사각형을 피보나치 숫자 크기로 이어 붙이면 저절로 황금비에 가까운 직사각형이 만들어져요.
아래 다이어그램처럼 실수는 유리수와 무리수로, 무리수는 다시 대수적 무리수와 초월수로 나뉘어요. 버튼을 눌러 각 수가 어디에 속하는지 확인해보세요.