정육면체의 한 변을 2배로 늘리면, 겉넓이는 4배, 부피는 8배가 돼요 — 단순히 2배가 아니에요! 닮음비가 k배면 넓이는 k², 부피는 k³만큼 늘어나기 때문이에요. 슬라이더로 닮음비를 바꿔가며 이 관계를 직접 확인해보세요.
왜 제곱, 세제곱이 될까요? 넓이는 "가로 × 세로"처럼 길이 두 개를 곱해서 만들어요. 길이가 각각 k배가 되면 넓이는 k×k=k²배가 돼요. 부피는 "가로 × 세로 × 높이"로 길이 세 개를 곱하니까, k×k×k=k³배가 되는 거예요.
실생활 예시: 개미와 코끼리를 비교하면, 코끼리는 개미보다 몸길이는 수백 배 크지만 몸무게(부피에 비례)는 그 세제곱만큼 어마어마하게 커져요. 그래서 큰 동물일수록 몸무게를 지탱하기 위해 다리가 몸에 비해 훨씬 두꺼워야 해요 — 다리 단면(넓이)은 k²로만 늘어나는데 버텨야 할 무게(부피)는 k³로 늘어나기 때문이에요.