1÷3을 계산하면 0.333...으로 3이 끝없이 반복돼요. 그런데 1÷4는 0.25에서 딱 끝나고요. 나눗셈을 직접 따라가 보면 왜 어떤 분수는 끝나고 어떤 분수는 영원히 반복되는지, 그 반복 구간(순환마디)은 얼마나 긴지 알 수 있어요.
분수를 소수로 바꿀 때 나눗셈을 하다 보면 나머지가 계속 나와요. 나머지가 0이 되면 소수는 거기서 끝나고(유한소수), 나머지가 예전에 나왔던 값과 똑같아지면 그 뒤로는 똑같은 숫자들이 계속 반복돼요(순환소수) — 나머지가 될 수 있는 값은 나누는 수보다 작은 정수뿐이라서, 언젠가는 반드시 반복되거나 0이 될 수밖에 없어요.
분수를 골라 나눗셈을 한 단계씩 따라가 보세요. 나머지가 예전과 똑같아지는 순간, 그 뒤로는 같은 숫자들이 계속 반복돼요.
분모가 2나 5의 곱으로만 이루어져 있으면 소수가 딱 끝나요. 그렇지 않으면 반드시 반복되는데, 반복되는 구간(순환마디)의 길이는 분모마다 완전히 달라요.
거꾸로, 순환소수는 항상 분수로 정확히 바꿀 수 있어요. x라고 놓고 순환마디만큼 10을 곱한 뒤 빼면 반복되는 부분이 사라져요.