1÷4를 계산하면 0.25에서 딱 끝나요. 그런데 1÷3을 계산하면 0.333...으로 3이 영원히 반복되고, 1÷7을 계산하면 0.142857142857...로 무려 여섯 자리(142857)가 통째로 반복돼요. 같은 나눗셈인데 왜 어떤 건 끝나고, 어떤 건 끝없이 반복될까요? 그리고 반복되는 구간(순환마디)의 길이는 왜 분모마다 이렇게 제각각일까요?
비밀은 나눗셈을 계속할 때마다 나오는 나머지에 있어요. 1÷7을 손으로 계산해본다고 생각해봐요. 10을 7로 나누면 몫 1, 나머지 3이에요. 나머지 3에 0을 붙인 30을 다시 7로 나누면 몫 4, 나머지 2예요. 이런 식으로 나머지가 3 → 2 → 6 → 4 → 5 → 1 순서로 계속 바뀌다가, 일곱 번째 단계에서 나머지가 다시 1이 돼요. 맨 처음 나머지와 똑같아진 거죠. 그러면 그 뒤부터는 몫으로 나오는 숫자들도 똑같은 순서로 반복될 수밖에 없어요 — 나머지가 같으면 그다음에 벌어지는 계산도 토씨 하나 안 틀리고 똑같으니까요.
그러면 왜 1÷4는 반복되지 않고 딱 끝날까요? 나머지가 도중에 0이 되기 때문이에요. 10÷4는 몫 2, 나머지 2. 20÷4는 몫 5, 나머지 0. 나머지가 0이 되면 그다음부터는 나눌 게 없으니 나눗셈이 거기서 끝나요(유한소수). 반대로 나머지가 0이 되지 못하고 예전 나머지와 똑같아지면, 그 사이의 숫자들이 영원히 반복돼요(순환소수). 사실 나머지는 나누는 수보다 항상 작은 정수만 될 수 있어서 가짓수가 유한해요 — 그래서 나눗셈을 아무리 오래 계속해도 언젠가는 반드시 나머지가 0이 되거나, 예전에 나온 나머지가 다시 등장할 수밖에 없어요.
순환마디의 길이도 분모에 따라 완전히 달라요. 분모를 약분한 뒤 소인수가 2와 5뿐이면 딱 끝나는 유한소수가 되고, 그렇지 않으면 반드시 순환소수가 돼요. 1/3은 순환마디가 1자리(3), 1/7은 6자리(142857), 1/11은 2자리(09)처럼, 분모가 비슷해 보여도 순환마디 길이는 들쭉날쭉이에요. 이 길이는 "10을 그 분모로 나눈 나머지가 몇 번 곱해야 다시 1이 되는가"로 정확히 결정돼요.
거꾸로, 이미 나온 순환소수를 다시 분수로 바꿀 수도 있어요. 예를 들어 x = 0.181818...이라고 놓으면, 순환마디가 2자리이니 양변에 100을 곱해요. 100x = 18.181818...이고, 여기서 원래 식 x를 빼면 100x − x = 18, 즉 99x = 18이 되어 반복되던 부분이 감쪽같이 사라져요. 정리하면 x = 18/99 = 2/11이라는 정확한 분수가 나와요. 소수점 뒤에 무한히 이어지는 숫자를 딱 떨어지는 분수로 바꿀 수 있다는 게 신기하죠.
저희 체험 페이지에서는 나눗셈을 한 단계씩 슬라이더로 넘겨보며 나머지가 언제 반복되는지 눈으로 확인하고, 분모를 2부터 19까지 바꿔가며 순환마디 길이가 어떻게 달라지는지, 그리고 순환소수를 다시 분수로 바꾸는 과정을 직접 체험해볼 수 있어요.