모든 자연수 n에 대해 "1+2+⋯+n = n(n+1)/2"가 성립한다는 걸 증명하려면, 자연수가 무한히 많으니 하나씩 다 확인할 수는 없어요. 대신 두 가지만 보이면 충분해요 — ① 첫 도미노(n=1)가 쓰러진다, ② 어떤 도미노가 쓰러지면 바로 다음 도미노도 반드시 쓰러진다. 이 두 가지가 성립하면 도미노가 끝없이 이어져 있어도 전부 쓰러져요.
왜 이 두 단계만으로 충분할까요? ①에서 n=1인 도미노(첫 번째 도미노)가 쓰러진다는 걸 확인했고, ②→③에서는 "k번째 도미노가 쓰러지면 (k+1)번째 도미노도 반드시 쓰러진다"는 사실을 확인했어요.
그러면 1번이 쓰러지니까 2번도 쓰러지고, 2번이 쓰러졌으니 3번도 쓰러지고… 이 사슬이 끊기지 않고 계속 이어지니까, 결국 모든 자연수 n에 대해 성립한다는 걸 알 수 있어요. k 슬라이더를 움직여서 사슬의 어느 지점에서 확인해도 같은 패턴이 반복되는 걸 확인해보세요.