f(1) = −1, f(2) = 2처럼 구간 양 끝에서 부호가 다르면, 그 사이 어딘가에서 그래프가 반드시 0을 지나가요 — 손을 떼지 않고 선을 그으면 당연히 지나갈 수밖에 없죠. 이게 사잇값 정리예요. 이분법으로 구간을 반씩 좁혀가며 √2의 위치를 실제로 찾아보세요.
사잇값 정리(중간값 정리): 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)와 f(b)의 값이 다르면, f(a)와 f(b) 사이의 어떤 값 k에 대해서도 f(c)=k를 만족하는 c가 반드시 구간 (a,b) 안에 존재해요. 특히 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면(하나는 양수, 하나는 음수), f(c)=0인 c가 반드시 존재해요.
이분법(Bisection Method)은 이 정리를 실제로 활용하는 방법이에요. 구간의 중점 m에서 함수값을 확인해서, 부호가 바뀌는 쪽 절반만 남기고 반복하면 근이 있는 구간이 점점 좁아져요. 이렇게 계속하면 원하는 정밀도까지 근의 위치를 좁혀갈 수 있어요.
최대·최소 정리도 비슷한 아이디어예요 — 닫힌구간에서 연속인 함수는 반드시 그 구간 안에서 최댓값과 최솟값을 가져요(그래프가 끊기지 않고 구간이 닫혀 있어야 성립해요).